Каково сравнение значений следующего выражения: 1) sin(10π/9) и sin(12π/11)?

Щука

35

Для сравнения значений выражений \(\sin\left(\frac{{10\pi}}{{9}}\right)\) и \(\sin\left(\frac{{12\pi}}{{11}}\right)\), мы сначала должны рассмотреть значения синусов в рамках указанных углов.

Для начала, давайте вычислим значение \(\sin\left(\frac{{10\pi}}{{9}}\right)\):

\[\sin\left(\frac{{10\pi}}{{9}}\right)\]

Мы можем видеть, что аргумент \(\frac{{10\pi}}{{9}}\) находится между \(\pi\) и \(2\pi\), поскольку \(\frac{{10\pi}}{{9}}\) больше, чем \(\pi\). Тем не менее, это все еще менее, чем два полных оборота вокруг единичной окружности.

Радианная мера \(\frac{{10\pi}}{{9}}\) соответствует противочасовой четверти окружности и лежит между угловыми точками \(\frac{{9\pi}}{{9}} = \pi\) и \(\frac{{11\pi}}{{9}}\).

Поскольку значение синуса положительно в этом интервале, мы можем сказать, что \(\sin\left(\frac{{10\pi}}{{9}}\right) > 0\).

Теперь перейдем к вычислению значения \(\sin\left(\frac{{12\pi}}{{11}}\right)\):

\[\sin\left(\frac{{12\pi}}{{11}}\right)\]

Мы можем видеть, что аргумент \(\frac{{12\pi}}{{11}}\) также находится между \(\pi\) и \(2\pi\), так как \(\frac{{12\pi}}{{11}}\) больше, чем \(\pi\). Опять же, это менее, чем два полных оборота вокруг единичной окружности.

Радианная мера \(\frac{{12\pi}}{{11}}\) соответствует противочасовой четверти окружности и лежит между угловыми точками \(\frac{{11\pi}}{{11}} = \pi\) и \(\frac{{13\pi}}{{11}}\).

Теперь обратите внимание, что значение синуса отрицательно в этом интервале. Это свидетельствует о том, что \(\sin\left(\frac{{12\pi}}{{11}}\right) < 0\).

Итак, по сравнению значений, мы можем сказать, что \(\sin\left(\frac{{10\pi}}{{9}}\right) > \sin\left(\frac{{12\pi}}{{11}}\right)\).

Давайте резюмируем:

\[\sin\left(\frac{{10\pi}}{{9}}\right) > 0\]
\[\sin\left(\frac{{12\pi}}{{11}}\right) < 0\]

Таким образом, значение \(\sin\left(\frac{{10\pi}}{{9}}\right)\) больше, чем значение \(\sin\left(\frac{{12\pi}}{{11}}\right)\).