Каково уравнение колебаний груза на гладком горизонтальном стрежне с пружиной, прикрепленной к нему, если при этом

Лев_2948

21

Для того чтобы найти уравнение колебаний груза на гладком горизонтальном стрежне с пружиной, мы можем использовать закон Гука и закон сохранения механической энергии.

Закон Гука утверждает, что сила \(F\) пружины пропорциональна ее деформации. Математически это записывается следующим образом:

\[F = -kx\]

где \(F\) - сила пружины, \(k\) - коэффициент упругости пружины, \(x\) - деформация пружины.

Согласно закону сохранения механической энергии, работа внешней силы равна изменению полной механической энергии системы. Математически это записывается следующим образом:

\[W = \Delta E\]

где \(W\) - работа внешней силы, \(\Delta E\) - изменение полной механической энергии системы.

Полная механическая энергия системы в данном случае состоит из кинетической энергии груза и потенциальной энергии пружины:

\[E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2\]

где \(m\) - масса груза, \(v\) - его скорость.

Теперь мы можем перейти к решению задачи.

Поскольку груз находится на гладком стрежне, сила трения пренебрежимо мала. То есть, сила внешней силы, которая проделывает работу, является работой пружины.

Подставим условие данной работы в формулу для работы внешней силы:

\[W = \frac{1}{2}kx^2 = 50\, \text{Дж}\]

Стало быть,

\[kx^2 = 100\]

Уравнение колебаний груза на гладком горизонтальном стрежне с пружиной можно записать следующим образом:

\[m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = -kx\]

где \(\frac{{d^2x}}{{dt^2}}\) - вторая производная координаты \(x\) по времени.

Для решения данного дифференциального уравнения можно предположить решение в виде \(x = A\sin(\omega t + \phi)\), где \(A\) - амплитуда колебаний, \(\omega\) - угловая частота колебаний, \(\phi\) - начальная фаза колебаний.

Подставим это решение в уравнение колебаний и продифференцируем его:

\[m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = -mA\omega^2\sin(\omega t + \phi)\]

\[m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = -kA\sin(\omega t + \phi)\]

Сравнивая коэффициенты при синусе с обеих сторон уравнения, получаем:

\[\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = -\frac{k}{m}x\]

\[-\omega^2 = -\frac{k}{m}\]

Тогда угловая частота и период колебаний определяются следующим образом:

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

\[T = \frac{{2\pi}}{\omega}\]

Ранее мы получили, что \(kx^2 = 100\), поэтому:

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{m}} = 10\]

Таким образом, уравнение колебаний груза принимает форму:

\[x = A\sin(10t + \phi)\]

Теперь мы можем найти значения координаты груза в моменты времени, равные \(\frac{\pi}{4}\) мс и \(\frac{\pi}{2}\) мс.

Подставим значение \(\frac{\pi}{4}\) мс в уравнение колебаний:

\[x = A\sin(10\cdot \frac{\pi}{4} + \phi)\]

\[x = A\sin(\frac{5}{2}\pi + \phi)\]

Учитывая, что \(\sin(\frac{5}{2}\pi + \phi) = -\sin(\frac{\pi}{2} + \phi) = -\cos(\phi)\), получаем:

\[x = -A\cos(\phi)\]

Аналогично, для момента времени равного \(\frac{\pi}{2}\) мс:

\[x = A\sin(10\cdot \frac{\pi}{2} + \phi)\]

\[x = A\sin(5\pi + \phi)\]

Так как \(\sin(5\pi + \phi) = -\sin(\pi + \phi) = -\sin(\phi)\), получаем:

\[x = -A\sin(\phi)\]

Таким образом, координаты груза в моменты времени, равные \(\frac{\pi}{4}\) мс и \(\frac{\pi}{2}\) мс, соответственно, равны \(-A\cos(\phi)\) и \(-A\sin(\phi)\).

Это детальное решение позволяет понять, как уравнение колебаний груза на гладком горизонтальном стрежне с пружиной получается из законов физики и как найти значения координаты груза в определенные моменты времени.