Каково уравнение окружности с центром на прямой x+y-3=0, проходящей через точки a (5; 0) и b

Magicheskiy_Samuray

53

Для того чтобы найти уравнение окружности с центром на прямой и проходящей через две заданные точки, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем координаты центра окружности.
Для этого найдем перпендикулярную прямую к данной прямой, проходящую через ее середину. Так как у нас дана наклонная прямая, ее общее уравнение имеет вид y = kx + b, где k - наклон, а b - значение, которое прямая пересекает с осью y.
Чтобы найти наклон и значение b, вспомним, что перпендикулярные прямые имеют противоположные обратные значения наклона. То есть, если наклон данной прямой равен k, то наклон перпендикуляра будет равен -1/k.
Данная прямая имеет наклон k = -1, поэтому наклон перпендикуляра равен k_перпендикуляра = 1.
Теперь, чтобы найти значение b для перпендикуляра, нужно использовать одну из заданных точек, например, точку a. Подставим ее координаты в общее уравнение перпендикуляра и решим уравнение:
0 = 1 * 5 + b
0 = 5 + b
b = -5

Таким образом, уравнение перпендикуляра имеет вид y = x - 5.

Теперь найдем точку пересечения прямой и перпендикуляра - это и будет координатами центра окружности. Для этого нужно решить систему уравнений:
x + y - 3 = 0
y = x - 5

Подставим второе уравнение в первое:
x + (x - 5) - 3 = 0
2x - 8 = 0
2x = 8
x = 4

Теперь найдем значение y, подставив найденное значение x в одно из уравнений:
y = x - 5
y = 4 - 5
y = -1

Таким образом, получаем, что центр окружности имеет координаты (4, -1).

2. Теперь найдем радиус окружности.
Для этого нужно найти расстояние от центра окружности до любой из заданных точек, например, точки a (5, 0).
Формула расстояния между двумя точками в декартовой системе координат выглядит следующим образом:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
В нашем случае:
d = sqrt((5 - 4)^2 + (0 - (-1))^2)
d = sqrt(1^2 + 1^2)
d = sqrt(2)

Таким образом, радиус окружности равен sqrt(2).

3. Наконец, находим окончательное уравнение окружности.
Уравнение окружности имеет вид (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.
Подставляем известные значения:
(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 2

Таким образом, уравнение окружности с центром на прямой x + y - 3 = 0, проходящей через точки a (5, 0) и b ( , ) будет иметь вид (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 2.