Какие значения x удовлетворяют уравнению x^3+6x^2+12x+9=0?

Musya

28

Для решения данной кубической уравнения, мы можем воспользоваться методом Феррари или использовать метод группировки. В данном случае, мы воспользуемся методом группировки, который проще и быстрее.

1. Выражаем коэффициенты уравнения. У нас имеется уравнение x^3 + 6x^2 + 12x + 9 = 0. Здесь a = 1, b = 6, c = 12, d = 9.

2. Разделяем выражение на группы. Мы можем разделить коэффициенты на две группы: первая группа содержит кубический член и показатель степени второй степени (x^3 + 6x^2), а вторая группа содержит линейный член и свободный член (12x + 9).

3. Факторизуем обе группы.
- Для первой группы возьмем наибольший общий множитель, который в данном случае является x^2: x^3 + 6x^2 = x^2(x + 6).
- Для второй группы возьмем наибольший общий множитель, который здесь равен 3: 12x + 9 = 3(4x + 3).

4. Применяем метод группировки, вынося общие множители за скобки:
x^2(x + 6) + 3(4x + 3) = 0.

5. Далее раскроем скобки:
x^3 + 6x^2 + 12x + 9 = 0.

6. Меняем знак перед второй группой и объединяем все слагаемые:
x^3 + 6x^2 - 12x - 9 = 0.

7. Далее, применяем метод сокращения, сокращая общий множитель, который в данном случае равен x + 3:
(x + 3)(x^2 - 3x - 3) = 0.

8. Теперь, решим получившееся квадратное уравнение x^2 - 3x - 3 = 0. Для этого, можно воспользоваться формулой дискриминанта, альтернативными методами (например, методом завершения квадрата) или графическим методом.

Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения. Для одной переменной x, формула дискриминанта имеет вид:
D = b^2 - 4ac,

где D - дискриминант, a, b и c - коэффициенты уравнения.

Для уравнения x^2 - 3x - 3 = 0, у нас есть:
a = 1, b = -3, и c = -3.

Рассчитаем дискриминант:
D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-3) = 9 + 12 = 21.

9. Теперь, определим значения x, удовлетворяющие квадратному уравнению.

Если D > 0, то есть два различных вещественных корня:
x = (-b + √D) / (2a) и x = (-b - √D) / (2a).

Если D = 0, то есть один корень:
x = -b / (2a).

Если D < 0, то нет вещественных корней.

В нашем случае, D = 21 > 0, поэтому у нас есть два различных вещественных корня.

Рассчитаем корни уравнения:
x = (-(-3) + √21) / (2 * 1) = (3 + √21) / 2,

и

x = (-(-3) - √21) / (2 * 1) = (3 - √21) / 2.

Таким образом, значения x, удовлетворяющие данному кубическому уравнению x^3 + 6x^2 + 12x + 9 = 0, равны:
x = (3 + √21) / 2 и x = (3 - √21) / 2.

Мы получили детальное решение уравнения x^3 + 6x^2 + 12x + 9 = 0, объяснили каждый шаг и выразили значения x в наиболее простой и понятной форме.