На сколько раз увеличится объем конуса при увеличении радиуса его основания в 26 раз?

Дракон

11

Чтобы решить данную задачу, нам нужно знать формулу для объема конуса и использовать ее для расчета. Объем конуса (V) можно найти, используя следующую формулу:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

где \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - высота конуса.

В данной задаче мы знаем, что радиус основания конуса увеличивается в 26 раз. Давайте обозначим исходный радиус как \(r_1\) и новый радиус как \(r_2\). Исходя из условия задачи, имеем следующее соотношение:

\(r_2 = 26r_1\)

Теперь нам нужно выразить высоту конуса через радиусы, чтобы подставить это значение в формулу объема.

Обратите внимание, что для решения данной задачи нам неизвестна высота конуса, а также нам не дается информация о том, как изменяется или связана с радиусом основания. В этой ситуации предполагается, что высота остается постоянной.

То есть мы можем сказать, что \(h_1 = h_2\), где \(h_1\) - исходная высота, а \(h_2\) - новая высота конуса.

Теперь мы можем записать формулы для объема конуса соответственно для исходного и нового конуса:

\[V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1\]

\[V_2 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2\]

Поскольку \(h_1 = h_2\), мы можем сократить высоты в обоих уравнениях:

\[V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h\]

\[V_2 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h\]

Теперь подставим значения \(r_2 = 26r_1\) в уравнение \(V_2\):

\[V_2 = \frac{1}{3}\pi (26r_1)^2 h\]

Приведем это выражение к более удобному виду:

\[V_2 = \frac{1}{3}\pi (676r_1^2) h\]

Теперь мы можем составить отношение объемов исходного и нового конусов:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{3}\pi (676r_1^2) h}{\frac{1}{3}\pi r_1^2 h}\]

Сократим множители:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{676r_1^2 h}{r_1^2 h}\]

Теперь сократим \(r_1^2 h\):

\[\frac{V_2}{V_1} = 676\]

Ответ: Объем конуса увеличится в 676 раз при увеличении радиуса его основания в 26 раз.