* Известно: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (см. рис. 5.92). а) В каком диапазоне находится длина отрезка

Veselyy_Kloun_9922

12

Дано: \(\angle DBC = 90^\circ\), \(\angle BDC = 60^\circ\), \(BD = 4\) см.

а) Для нахождения диапазона значений длины отрезка BC, выраженной целыми числами, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника BDC:

\[BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BDC}\]

Подставим известные значения и упростим выражение:

\[4^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{60^\circ}\]

\[16 = BC^2 + CD^2 - BC \cdot CD\]

Так как BC и CD - положительные значения, то максимальное значение для BC будет достигаться при минимальном значении CD, и наоборот. Поэтому можно предположить, что BC и CD могут быть равными исходя из треугольника, который представлен на рисунке, где BC и CD --- две стороны прямоугольного треугольника.

Положим \(BC = CD = x\), где x --- длина отрезка BC и CD. Тогда уравнение примет вид:

\[16 = x^2 + x^2 - x \cdot x\]

\[16 = 2x^2 - x^2\]

\[16 = x^2\]

\[x = \pm 4\]

Таким образом, длина отрезка BC, выраженная целыми числами, находится в диапазоне от -4 до +4.

б) Чтобы определить длину медианы PD, применим основную теорему о медиане треугольника, которая гласит: "Медиана треугольника делит ее основание пополам и равна половине длины отрезка BD".

Таким образом, длина медианы PD равна половине длины отрезка BD:

\[PD = \frac{1}{2} \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\] см.

Таким образом, длина медианы PD равна 2 см. Ответ предоставлен с обоснованием и без использования корней.