Каково уравнение траектории частицы массы m, движущейся в центральном поле с потенциальной энергией U(r) = ?, если

Lazernyy_Reyndzher

31

Для начала, давайте разберемся, что такое траектория частицы и потенциальная энергия. Траектория - это путь, который частица проходит при движении, а потенциальная энергия - это энергия, связанная с положением частицы в поле сил.

Если полная энергия E частицы равна нулю, то это означает, что кинетическая энергия T и потенциальная энергия U равны по модулю и противоположны по знаку:

\[E = T + U = 0\]

Мы знаем, что в данном случае потенциальная энергия U(r) зависит только от расстояния r от центра поля. Поэтому потенциальная энергия может быть записана как:

\[U(r) = \alpha r^k\]

где \(\alpha\) - постоянная и k - степень зависимости потенциальной энергии от расстояния.

Теперь рассмотрим момент импульса L частицы. В центральном поле момент импульса сохраняется, что означает:

\[L = mvr\]

где m - масса частицы, v - её скорость и r - радиус-вектор, указывающий на положение частицы относительно центра поля.

Мы также знаем, что момент импульса L является величиной постоянной в случае движения в центральном поле. Подставим в это равенство выражение для момента импульса:

\[L = mvr = mr^2 \frac{d\theta}{dt}\]

где \(\theta\) - угол между радиус-вектором r и осью, проходящей через центр поля.

Теперь мы можем найти производную от радиус-вектора по времени:

\[ \frac{dr}{dt} = \frac{(mr^2 \frac{d\theta}{dt})}{mr} = \frac{L}{mr}\]

Подставив полученное выражение для производной в уравнение движения массы в центральном поле (\(F = \frac{d^2r}{dt^2} = m\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{dU}{dr}\)), получим:

\[m \frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d(\alpha r^k)}{dr} = -\alpha k r^{k-1}\]

Подставим выражение для производной от радиус-вектора:

\[m \frac{d}{dt}(\frac{dr}{dt}) = m \frac{d}{dt}(\frac{L}{mr}) = m \frac{d}{dt}(\frac{L}{mr}) = m \frac{d}{dt}(\frac{L}{m \sqrt{r^2 + r^2\sin^2\theta}}) = m \frac{L}{m \sqrt{r^2 + r^2\sin^2\theta}^3}\]

Теперь полученное уравнение можно упростить:

\[\frac{L^2}{m^2 r^3}\frac{r^2}{(r^2 + r^2\sin^2\theta)^{\frac{3}{2}}} = - \alpha k r^{k-1}\]

Сократим на L и m:

\[\frac{L}{m r^3}\frac{r^2}{(r^2 + r^2\sin^2\theta)^{\frac{3}{2}}} = - \alpha k r^{k-1}\]

Подставим выражение для L:

\[\frac{mvr}{m r^3}\frac{r^2}{(r^2 + r^2\sin^2\theta)^{\frac{3}{2}}} = - \alpha k r^{k-1}\]

Сократим на m и r:

\[\frac{v}{r^2}\frac{1}{(1 + \sin^2\theta)^{\frac{3}{2}}} = - \alpha k r^{k-3}\]

Теперь мы можем записать уравнение траектории частицы:

\[\frac{v}{r^2}\frac{1}{(1 + \sin^2\theta)^{\frac{3}{2}}} = - \alpha k r^{k-3}\]

Проанализируем полученное уравнение. Мы видим, что траектория частицы зависит от скорости v, радиуса r, угла \(\theta\) и постоянных \(\alpha\) и k. Таким образом, полученное уравнение представляет собой уравнение траектории частицы массы m в центральном поле с заданным потенциалом энергии U(r) и заданными значениями момента импульса L и постоянной \(\alpha\).