Каково время, требуемое для того, чтобы все молекулы покинули данный объем, если через щель просачивается один миллион

Vladislav

40

Эта задача связана с физикой и конкретно с кинетической теорией газов. Для решения задачи нам нужно знать законы физики и рассмотреть основные понятия кинетической теории газов.

Кинетическая теория газов утверждает, что частицы в газе постоянно движутся и взаимодействуют друг с другом. Средняя скорость частиц связана с температурой газа. В данной задаче нам известна скорость просачивания молекул через щель, а мы должны найти время, необходимое для того, чтобы все молекулы покинули данный объём.

Для начала нам нужно узнать, сколько молекул уже находится в заданном объеме. Предположим, что объем достаточно большой, что можно игнорировать взаимное влияние молекул и считать систему идеальным газом. Формула, связывающая количество молекул газа с его объемом и концентрацией, выглядит следующим образом:

\[N = n \cdot V\]

Где:
\(N\) - количество молекул газа,
\(n\) - концентрация газа (количество молекул газа в единице объема),
\(V\) - объем газа.

Из условия задачи, известно, что через щель просачивается один миллион молекул в секунду. Это означает, что каждую секунду количество молекул уменьшается на один миллион. Таким образом, скорость уменьшения молекул равна отрицательной производной от количества молекул по времени:

\[\frac{dN}{dt} = -10^6\]

Теперь мы можем записать дифференциальное уравнение, описывающее изменение количества молекул в заданном объеме:

\[\frac{dN}{dt} = -n \cdot S \cdot v\]

Где:
\(n\) - концентрация газа,
\(S\) - площадь поверхности щели,
\(v\) - средняя скорость молекул.

Заметим, что концентрация газа \(n\) можно представить как отношение количества молекул к объему газа:

\[n = \frac{N}{V}\]

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение:

\[\frac{dN}{dt} = -\left(\frac{N}{V}\right) \cdot S \cdot v\]

Теперь мы можем решить это дифференциальное уравнение. Разделяя переменные и интегрируя, получим:

\[\int \frac{dN}{N} = -\int \left(\frac{S \cdot v}{V}\right) dt\]

\[\ln |N| = -\left(\frac{S \cdot v}{V}\right) \cdot t + C\]

Где \(C\) - постоянная интегрирования. Возьмем экспоненту от обеих частей уравнения:

\[|N| = e^{-\left(\frac{S \cdot v}{V}\right) \cdot t + C}\]

Используя свойство экспоненты, а именно \(e^x\) равно модулю \(|e^x|\), мы можем упростить это выражение:

\[N = \pm e^C \cdot e^{-\left(\frac{S \cdot v}{V}\right) \cdot t}\]

Но заметим, что число молекул не может быть отрицательным, поэтому мы можем игнорировать знак \(-\) и записать окончательное выражение:

\[N = e^C \cdot e^{-\left(\frac{S \cdot v}{V}\right) \cdot t}\]

Теперь у нас появилась константа \(e^C\), которую нам нужно определить. Мы можем использовать начальное условие, которое указано в задаче. В начальный момент времени все молекулы находятся в объеме, поэтому \(N = N_0\), где \(N_0\) - начальное количество молекул. Подставим это в выражение для \(N\):

\[N_0 = e^C \cdot e^{-\left(\frac{S \cdot v}{V}\right) \cdot 0}\]

Так как \(e^0 = 1\), то \(e^{-\left(\frac{S \cdot v}{V}\right) \cdot 0} = 1\). Отсюда получаем, что \(N_0 = e^C\), то есть \(C = \ln N_0\).

Мы исследовали главные понятия кинетической теории газов, записали и решили дифференциальное уравнение, получили окончательное выражение для количества молекул \(N\) в заданном объеме в зависимости от времени \(t\):

\[N = N_0 \cdot e^{-\left(\frac{S \cdot v}{V}\right) \cdot t}\]

Таким образом, мы можем определить зависимость количества молекул от времени. Для ответа на задачу нужно найти время, необходимое для того, чтобы все молекулы покинули данный объем. Для этого мы должны найти такое значение \(t\), при котором \(N = 0\):

\[0 = N_0 \cdot e^{-\left(\frac{S \cdot v}{V}\right) \cdot t}\]

Так как \(N_0\) не равно нулю, то экспонента может быть равна нулю только при отрицательной бесконечности. Поэтому:

\[-\left(\frac{S \cdot v}{V}\right) \cdot t = -\infty\]

Теперь мы можем определить значение \(t\):

\[t = \frac{V}{S \cdot v} \cdot \infty\]

Так как \(\infty\) является бесконечностью, решение будет:

\[t = \infty\]