Каково время, за которое тело пройдет расстояние, равное 1/4 амплитуды, если период колебаний тела равен 4 секундам

Винни

24

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами, связывающими период колебаний, амплитуду и время, за которое тело пройдет определенное расстояние.

Период колебаний можно определить по формуле:

\[T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}\]

где T - период колебаний, m - масса тела, k - коэффициент жесткости пружины.

Из условия задачи известно, что период колебаний равен 4 секундам. Также, учитывая, что начальное положение тела - положение равновесия, можно сделать вывод, что сила упругости равна силе тяжести:

\[kx = mg\]

где k - коэффициент жесткости пружины, x - амплитуда колебаний, m - масса тела, g - ускорение свободного падения.

Для того, чтобы найти время, за которое тело пройдет расстояние, равное 1/4 амплитуды, воспользуемся следующей формулой:

\[t = \dfrac{T}{4 \pi} \cdot \arcsin(\dfrac{\Delta x}{x})\]

где t - время, за которое тело пройдет расстояние, равное 1/4 амплитуды, T - период колебаний, \(\Delta x\) - расстояние, x - амплитуда колебаний.

Теперь продолжим с решением задачи.

Из уравнения \(kx = mg\) можем выразить коэффициент жесткости пружины:

\[k = \dfrac{mg}{x}\]

Подставим данное выражение в уравнение для периода колебаний:

\[T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{\dfrac{mg}{x}}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{x}{g}}\]

Теперь, зная период колебаний, найдем амплитуду:

\[4 = 2\pi \sqrt{\dfrac{x}{9.8}}\]

Возводя обе части уравнения в квадрат и решая его, получаем:

\[x = 19.6\approx 19.6 \, \text{см}\]

Теперь можем подставить известные значения в формулу для времени:

\[t = \dfrac{T}{4 \pi} \cdot \arcsin(\dfrac{\Delta x}{x}) = \dfrac{4}{4\pi} \cdot \arcsin(\dfrac{1}{4 \cdot 19.6}) \approx 0.032 \, \text{сек}\]

Таким образом, время, за которое тело пройдет расстояние, равное 1/4 амплитуды, составляет примерно 0.032 секунды.