Каково выражение вектора ДВ через векторы a=ВА и b=СД, если АВСД - трапеция, а основания АД и ВС относятся как 3:2?

Kira

4

Чтобы найти выражение вектора ДВ через векторы a=ВА и b=СД, нам понадобится использовать свойства векторов и отношение оснований трапеции. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Построим векторы АД и ВС
На основании того, что основания АД и ВС относятся как 3:2, мы можем представить вектор АД в следующем виде:

\(\overrightarrow{AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{a}\)

Аналогично, вектор ВС будет:

\(\overrightarrow{СВ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)

Шаг 2: Найдем векторы АС и ВД
Мы знаем, что сумма противоположных сторон трапеции равна вектору АС. Поэтому:

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)

Аналогично, вектор ВД равен разности векторов АС и АД:

\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b} - \frac{3}{2}\overrightarrow{a}\)

Шаг 3: Упростим выражение для вектора ДВ
Для удобства расчета, сгруппируем векторы a и b:

\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{BD} = \left(1 - \frac{3}{2}\right)\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)

Таким образом, выражение вектора ДВ через векторы a=ВА и b=СД будет:

\(\overrightarrow{BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)

Интересный факт:
Выражение для вектора ДВ напоминает формулу нахождения среднего арифметического двух чисел. Это связано с тем, что вектор ДВ находится неким средним между векторами ВА и СД.

Надеюсь, данное пояснение помогло вам понять, как получить выражение вектора ДВ через векторы ВА и СД в данной трапеции.