Каково взаимное положение прямой и плоскости, заданные уравнениями x = –1 + 2t, y = 3 + 4t, z = 3t и 2x – 2y + z

Ekaterina

35

Для определения взаимного положения прямой и плоскости, заданных уравнениями, нужно проанализировать их взаимодействие. В данном случае мы имеем прямую, заданную параметрическими уравнениями x = -1 + 2t, y = 3 + 4t, z = 3t, и плоскость, заданную уравнением 2x - 2y + z.

1. Для начала, рассмотрим параметрические уравнения прямой. Уравнение x = -1 + 2t означает, что координата x изменяется от -1 до бесконечности с шагом 2t. Аналогично, координаты y и z также меняются в зависимости от параметра t. Это означает, что прямая простирается вдоль направления, заданного вектором (2, 4, 3).

2. Далее, рассмотрим уравнение плоскости 2x - 2y + z. Здесь коэффициенты перед x, y и z задают нормальный вектор к плоскости, то есть вектор, перпендикулярный плоскости. В данном случае нормальный вектор равен (2, -2, 1), что означает, что плоскость расположена перпендикулярно этому направлению.

3. Теперь мы можем определить взаимное положение прямой и плоскости. Если вектор, задающий направление прямой, параллелен нормальному вектору плоскости, то прямая будет лежать в плоскости. В нашем случае, вектор (2, 4, 3) не является параллельным нормальному вектору (2, -2, 1), следовательно, прямая не лежит в плоскости.

4. Однако существует возможность, что прямая и плоскость пересекаются. Для этого необходимо проверить, существует ли точка, принадлежащая как прямой, так и плоскости. Для этого подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости и решим полученную систему уравнений.

Подставив значения из параметрических уравнений прямой в уравнение плоскости, мы получаем:

2(-1 + 2t) - 2(3 + 4t) + (3t) = 0

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

-2 + 4t - 6 - 8t + 3t = 0

Комбинируя подобные члены, получаем:

-2t - 8 = 0

-2t = 8

t = -4

Теперь, найдя значение параметра t, мы можем подставить его обратно в параметрическое уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения x, y и z:

x = -1 + 2t = -1 + 2(-4) = -9
y = 3 + 4t = 3 + 4(-4) = -13
z = 3t = 3(-4) = -12

Таким образом, мы получаем точку (-9, -13, -12), которая лежит на прямой и в плоскости.

Итак, взаимное положение прямой и плоскости, заданных уравнениями x = -1 + 2t, y = 3 + 4t, z = 3t и 2x - 2y + z, заключается в том, что прямая не лежит в плоскости, но они имеют общую точку (-9, -13, -12).