Каково взаимное расположение графиков линейных функций y=7x+4 и y=4x−7, если не выполнять их построение?

Пчела

23

Для того, чтобы определить взаимное расположение графиков линейных функций \(y = 7x + 4\) и \(y = 4x - 7\) без их построения, нам необходимо проанализировать их уравнения и выяснить, имеют ли они общую точку пересечения, параллельны ли они или же пересекаются под углом.

1. Прежде всего, заметим, что оба уравнения представляют собой линейные функции вида \(y = mx + c\), где \(m\) - наклон (коэффициент перед \(x\)), а \(c\) - свободный член (точка пересечения линии с осью \(y\)).
2. Для определения точки пересечения графиков, решим систему уравнений \(y = 7x + 4\) и \(y = 4x - 7\). Подставим второе уравнение в первое и найдем значение \(x\):

\[
7x + 4 = 4x - 7
\]

Вычтем \(4x\) из обеих частей и прибавим 7:

\[
7x - 4x = -7 - 4
\]

\[
3x = -11
\]

Разделим обе части на 3:

\[
x = \frac{{-11}}{{3}}
\]

3. Теперь, чтобы найти соответствующее значение \(y\), подставим \(x\) обратно в любое из исходных уравнений. Давайте используем \(y = 7x + 4\):

\[
y = 7 \left(\frac{{-11}}{{3}}\right) + 4
\]

Упростим:

\[
y = -\frac{{77}}{{3}} + 4
\]

\[
y = -\frac{{77}}{{3}} + \frac{{12}}{{3}}
\]

\[
y = -\frac{{65}}{{3}}
\]

Таким образом, точка пересечения графиков линейных функций \(y = 7x + 4\) и \(y = 4x - 7\) имеет координаты \(\left(\frac{{-11}}{{3}}, -\frac{{65}}{{3}}\right)\).

4. Теперь оценим наклоны функций \(y = 7x + 4\) и \(y = 4x - 7\). Коэффициенты перед \(x\) в обоих уравнениях составляют 7 и 4 соответственно. Поскольку эти коэффициенты отличаются, это означает, что графики двух функций являются неравными и непараллельными.

Исходя из нашего анализа, мы можем заключить, что графики линейных функций \(y = 7x + 4\) и \(y = 4x - 7\) пересекаются в точке с координатами \(\left(\frac{{-11}}{{3}}, -\frac{{65}}{{3}}\right)\) и не являются параллельными.