Каково взаимное расположение окружности и прямых a и b, если точка А является центром окружности радиусом 2

Mister

62

Решение:

1. Для начала нарисуем схему задачи:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\circled{A}
\end{array}\\\\\\\\
\begin{array}{c}
___________\\\\\\\\
\end{array}\\
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
a
\end{array}\\\\\\\\
\begin{array}{c}
b
\end{array}
\end{array}
\end{array}
\]

В данной схеме точка А представляет собой центр окружности, а прямые a и b находятся на расстоянии 1 и 4 см соответственно от точки А.

2. Для определения взаимного расположения окружности и прямых, нужно учесть следующие факты:

- Если окружность пересекает прямую в двух точках, то говорят, что они пересекаются.
- Если окружность и прямая имеют ровно одну общую точку, то говорят, что прямая касается окружности.
- Если окружность и прямая не имеют общих точек, то они не пересекаются.

3. Рассмотрим прямую a.

Так как прямая a находится на расстоянии 1 см от центра окружности, а радиус окружности равен 2 см, то они пересекаются в двух точках. Пусть точки пересечения обозначим как B и C.

4. Рассмотрим прямую b.

Так как прямая b находится на расстоянии 4 см от центра окружности, а радиус окружности равен 2 см, то они не пересекаются и не имеют общих точек.

5. Найдем расстояние от точки A до прямой, которая является касательной к окружности.

Для этого построим перпендикуляр к прямой a, проходящий через точку A, и найдем секущую ADE прямую b (E – пересечение перпендикуляра с прямой b). Так как BC – это диаметр окружности, то DAC прямоугольный треугольник. Расстояние от А до прямой b будет равно DE – это и будет искомое расстояние.

Расстояние от А до прямой b можно выразить с использованием теоремы Пифагора:

\[DE^2 = AC^2 - AE^2\]

Так как AC равно радиусу окружности (2 см), а AE равно половине длины прямой a (половина длины диаметра окружности), то

\[AE = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\]

\[DE^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3\]

\[\mathbf{DE = \sqrt{3} \approx 1.73}\] см

Таким образом, расстояние от точки А до прямой, чтобы она стала касательной к окружности, составляет приблизительно 1.73 см.

Чертеж:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\circled{A}
\end{array}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
a
\end{array}\\\\\\\\\\\\
\begin{array}{c}
b
\end{array}
\end{array}\\
\begin{array}{c}
___________\\\\\\\\
\end{array}\\
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\text{B}\\\\
\text{C}
\end{array}\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\begin{array}{c}
\text{D}\\\\
\text{E}
\end{array}
\end{array}
\end{array}
\]

Надеюсь, это решение было понятным и помогло вам понять взаимное расположение окружности и прямых в данной задаче.