Каково значение 26sin(a+b), если sin(a)=12/13 и sin(b)=-4/5?

Виталий_2192

36

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать информацию о значениях синусов углов \( a \) и \( b \) и подставить их в выражение \( 26\sin(a+b) \).

Итак, дано:
\(\sin(a) = \frac{12}{13}\)
\(\sin(b) = -\frac{4}{5}\)

Для начала, давайте найдем значение синуса угла \( a + b \). Для этого мы можем использовать формулу синуса суммы двух углов:

\(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\)

Мы уже знаем значения \(\sin(a)\) и \(\sin(b)\), но чтобы найти \(\cos(a)\) и \(\cos(b)\), нам понадобятся дополнительные сведения о значениях косинусов этих углов.

Мы можем использовать связь между синусами и косинусами в прямоугольном треугольнике. Так как у нас уже есть значения синусов, мы можем использовать следующие формулы:

\(\cos(a) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(a)}\)
\(\cos(b) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(b)}\)

Здесь использован знак "плюс-минус", поскольку в первой и второй четвертях синусы положительны, а в третьей и четвертой отрицательны.

Теперь давайте найдем эти значения:

\(\cos(a) = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \pm \sqrt{\frac{169 - 144}{169}} = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}\)

\(\cos(b) = \pm \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \pm \sqrt{\frac{25 - 16}{25}} = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}\)

Теперь мы знаем значения \(\sin(a)\), \(\cos(a)\), \(\sin(b)\) и \(\cos(b)\). Подставим их в формулу \(\sin(a + b)\):

\(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\)

\(\sin(a + b) = \left(\frac{12}{13}\right) \left(-\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{5}{13}\right) \left(-\frac{4}{5}\right)\)

Упростим это выражение:

\(\sin(a + b) = -\frac{36}{65} - \frac{20}{65} = -\frac{56}{65}\)

Теперь, чтобы найти значение \(26\sin(a + b)\), умножим это значение на 26:

\(26\sin(a + b) = 26 \times \left(-\frac{56}{65}\right)\)

Давайте упростим это:

\(26\sin(a + b) = -\frac{1456}{65}\)

Финальным ответом будет: значение выражения \(26\sin(a + b)\) равно \(-\frac{1456}{65}\).