Каково значение аргумента φ, выраженное в градусах, если z = −√3 + i и −180° < φ ≤ 180°?

Vitaliy

41

Для решения этой задачи нам необходимо найти значение аргумента \(\phi\), выраженное в градусах, при условии, что \(z = -\sqrt{3} + i\) и \(-180° < \phi ≤ 180°\).

Первым шагом мы можем найти модуль комплексного числа \(z\), используя его действительную и мнимую части. Модуль вычисляется по формуле: \(\left| z \right| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}\), где \(\text{Re}(z)\) - действительная часть числа \(z\), а \(\text{Im}(z)\) - мнимая часть числа \(z\).

Для нашего числа \(z = -\sqrt{3} + i\), действительная часть равна \(\text{Re}(z) = -\sqrt{3}\), а мнимая часть равна \(\text{Im}(z) = 1\). Подставляя значения в формулу модуля, получаем:

\(\left| z \right| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\).

Следующим шагом нам необходимо найти аргумент комплексного числа \(z\), выраженный в радианах, используя формулу: \(\arg(z) = \arctan\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right)\).

Для нашего числа \(z = -\sqrt{3} + i\), подставляя значения действительной и мнимой частей в формулу аргумента, получаем:

\(\arg(z) = \arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right)\).

Теперь мы можем найти значение аргумента \(\phi\) в градусах, зная, что \(-180° < \phi ≤ 180°\). Для этого мы можем воспользоваться следующей формулой: \(\phi = \arg(z) \times \frac{180}{\pi}\), где \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14159.

Подставляя значение аргумента \(\arg(z)\) в формулу, получаем:

\(\phi = \arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right) \times \frac{180}{\pi}\).

Вычислив это выражение, мы получим значение аргумента \(\phi\) в градусах.

Обратите внимание, что в решении мы использовали тригонометрическую функцию арктангенса, чтобы найти аргумент \(\phi\). Простым подстановочным методом, как в случае тригонометрии, не получится получить искомое значение аргумента \(\phi\). Нам нужно использовать именно общий метод, описанный выше.