Каково значение cos2B в треугольнике ABC, где ∠C=90° и sinB=43–√105–√? Ответ

Геннадий

13

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике угол C равен 90°, поэтому у нас есть два угла треугольника - A и B.

Также дано, что sinB = 43−√105−√. Давайте воспользуемся определением sinB. Согласно определению, sinB = противоположная сторона / гипотенуза. Пусть противоположная сторона равна a, а гипотенуза равна c.

Таким образом, у нас есть соотношение:
\(\sin{B} = \frac{a}{c} = 43-√105-√\)

Чтобы найти значение cos2B, мы можем воспользоваться формулой тригонометрии: cos2B = 1 - sin^2B.

Давайте найдем значение sinB, используя данный намо отношение:
\(\frac{a}{c} = 43-√105-√\)

Для начала приведем корень в правой части дроби к удобному виду:
\(\frac{a}{c} = 43- (\sqrt{105} -\sqrt{})\)

Мы также знаем, что сумма квадратов двух корней равна 105, поэтому: (sqrt{105} - sqrt{})^2 = 105
Упростим это:
105 + 105 - 2(sqrt{105})(sqrt{}) = 105
210 - 2(sqrt{105})(sqrt{}) = 105
- 2(sqrt{105})(sqrt{}) = 105 - 210
-2(sqrt{105})(sqrt{}) = -105

Делим обе стороны на -2:
(sqrt{105})(sqrt{}) = -105 / -2
(sqrt{105})(sqrt{}) = 52.5

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(\sqrt{105})^2 * (\sqrt{})^2 = 52.5^2
105 * (\sqrt{})^2 = 52.5^2
105 * = 52.5^2
* = (52.4^2) / 105
* = 2706.25 / 105
* = 25.725

Теперь у нас есть значение a / c, равное 25.725. Вспомним, что cos2B = 1 - sin^2B. Подставим значение sinB, которое мы только что нашли:
cos2B = 1 - (25.725)^2
cos2B = 1 - 660.50625
cos2B = -659.50625

Ответ: значение cos2B в треугольнике ABC, где ∠C=90° и sinB=43–√105–√, равно -659.50625.