Каково значение m и как найти второй корень уравнения 4x^2 - 5.6x + m = 0, если 0.2 является одним из корней?

Angelina

13

Хорошо, чтобы решить эту задачу, мы будем использовать информацию о том, что 0.2 является одним из корней уравнения, и мы должны найти значение m и второй корень уравнения.

Первым шагом будет использование факта о корне 0.2 для наших вычислений. Мы знаем, что для любого корня х уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), мы можем записать x в виде десятичной дроби:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставим значение нашего корня x = 0.2 вместо x, чтобы найти уравнение:

\[0.2 = \frac{-(-5.6) \pm \sqrt{(-5.6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot m}}{2 \cdot 4}\]

Упростим это уравнение:

\[0.2 = \frac{5.6 \pm \sqrt{31.36 - 16m}}{8}\]

Затем умножим оба выражения на 8, чтобы избавиться от знаменателя:

\[0.2 \cdot 8 = 5.6 \pm \sqrt{31.36 - 16m}\]

\[1.6 = 5.6 \pm \sqrt{31.36 - 16m}\]

Теперь выразим \(\sqrt{31.36 - 16m}\):

\[1.6 - 5.6 = \pm \sqrt{31.36 - 16m}\]

\[-4 = \pm \sqrt{31.36 - 16m}\]

Теперь возводим оба выражения в квадрат, чтобы убрать знак квадратного корня:

\[(-4)^2 = (\pm \sqrt{31.36 - 16m})^2\]

\[16 = 31.36 - 16m\]

Теперь решим это уравнение для m:

\[16 - 31.36 = -16m\]

\[-15.36 = -16m\]

\[m = \frac{-15.36}{-16}\]

\[m = 0.96\]

Итак, значение m равно 0.96.

Чтобы найти второй корень уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Для нашего уравнения \(4x^2 - 5.6x + m = 0\), a = 4, b = -5.6 и c = m. Подставим значение m = 0.96:

\[D = (-5.6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 0.96\]

\[D = 31.36 - 15.36\]

\[D = 16\]

Так как дискриминант равен 16, уравнение имеет два различных корня. Для нахождения второго корня, мы можем использовать формулу для \(x\) и значение \(D\):

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x = \frac{5.6 \pm \sqrt{16}}{8}\]

\[x = \frac{5.6 \pm 4}{8}\]

Таким образом, второй корень уравнения будет:

\[x_2 = \frac{5.6 + 4}{8} = \frac{9.6}{8} = 1.2\]

Ответ: значение \(m\) равно 0.96, а второй корень уравнения равен 1.2.