1. Найдите полную поверхность цилиндра, если его радиус равен 2, а высота - 5. 2. Найдите боковую поверхность конуса

Schavel

70

из 3. Радиус основания конуса \(r = 2\), а высота \(h = \sqrt{3}\).

1. Перейдем к решению первой задачи. Для нахождения полной поверхности цилиндра нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности. Площадь основания \(S_{\text{осн}}\) вычисляется по формуле: \(S_{\text{осн}} = \pi \cdot r^2\), где \(r\) - радиус цилиндра. В нашем случае радиус \(r = 2\), поэтому \(S_{\text{осн}} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\).

Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\) вычисляется по формуле: \(S_{\text{бок}} = 2 \pi \cdot r \cdot h\), где \(r\) - радиус цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра. В нашем случае радиус \(r = 2\), а высота \(h = 5\), поэтому \(S_{\text{бок}} = 2 \pi \cdot 2 \cdot 5 = 20\pi\).

Итак, полная поверхность цилиндра равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \(S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 4\pi + 20\pi = 24\pi\).

Ответ: полная поверхность цилиндра равна \(24\pi\).

2. Перейдем к решению второй задачи. Для нахождения боковой поверхности конуса нужно умножить половину длины окружности основания на длину образующей линии.

Длина окружности основания вычисляется по формуле: \(L = 2 \pi r\), где \(r\) - радиус окружности основания конуса. В нашем случае радиус \(r = 5\), поэтому \(L = 2 \pi \cdot 5 = 10\pi\).

Образующая линия вычисляется по формуле: \(l = \sqrt{h^2 + r^2}\), где \(h\) - высота конуса, а \(r\) - радиус окружности основания. В нашем случае высота \(h = 5\), а радиус \(r = 5\), поэтому \(l = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50}\).

Итак, боковая поверхность конуса равна произведению половины длины окружности основания на длину образующей линии: \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 10\pi \cdot \sqrt{50} = 5\pi \sqrt{50}\).

Ответ: боковая поверхность конуса равна \(5\pi \sqrt{50}\).

3. Перейдем к решению третьей задачи. Для нахождения полной поверхности конуса нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности.

Площадь основания \(S_{\text{осн}}\) вычисляется по формуле: \(S_{\text{осн}} = \pi \cdot r^2\), где \(r\) - радиус основания конуса. В нашем случае радиус \(r = 2\), поэтому \(S_{\text{осн}} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\).

Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\) вычисляется по формуле: \(S_{\text{бок}} = \pi \cdot r \cdot l\), где \(r\) - радиус основания конуса, а \(l\) - образующая линия. В нашем случае радиус \(r = 2\), а образующая линия \(l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}\). Поэтому \(S_{\text{бок}} = \pi \cdot 2 \cdot \sqrt{7} = 2\pi \sqrt{7}\).

Итак, полная поверхность конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \(S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 4\pi + 2\pi \sqrt{7} = \pi(4 + 2\sqrt{7})\).

Ответ: полная поверхность конуса равна \(\pi(4 + 2\sqrt{7})\).