Каково значение наименьшего общего кратного чисел x и y, если они являются взаимно простыми?

Анатолий

14

Если числа \(x\) и \(y\) являются взаимно простыми, то их наименьшее общее кратное (НОК) будет равно произведению самих чисел. Давайте рассмотрим этот вопрос более подробно.

Понятие взаимной простоты означает, что \(x\) и \(y\) не имеют общих делителей, кроме 1. Другими словами, их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Теперь, если \(x\) и \(y\) взаимно простые, то НОК будет равен произведению \(x\) и \(y\). Мы можем обосновать это с помощью разложения чисел на простые множители.

Разложим числа \(x\) и \(y\) на простые множители:

\[x = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{a_n}\]
\[y = q_1^{b_1} \cdot q_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot q_m^{b_m}\]

Здесь \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) и \(q_1, q_2, \ldots, q_m\) - простые числа, а \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) и \(b_1, b_2, \ldots, b_m\) - натуральные степени.

Теперь, так как \(x\) и \(y\) взаимно простые, все простые множители в разложении \(x\) не встречаются в разложении \(y\), и наоборот.

Таким образом, НОК равно произведению всех простых множителей с их максимальными степенями:

\[\text{НОК}(x, y) = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{a_n} \cdot q_1^{b_1} \cdot q_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot q_m^{b_m}\]

Как мы видим, это равно простому произведению чисел \(x\) и \(y\).

Итак, если \(x\) и \(y\) являются взаимно простыми, то НОК будет равен произведению самих чисел.

Надеюсь, это объяснение понятно. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!