Каково значение постоянной в формуле для распределения случайной величины, определенной как P{ξ=k}=Ck(k+1), k=1,2,...?

Валентинович

10

Для определения значения постоянной в данной формуле, нам нужно использовать условие нормировки вероятности. Условие нормировки требует, чтобы сумма всех вероятностей была равной 1.

В данном случае, формула для распределения случайной величины имеет вид:

$$P\{\xi =k\}=C\cdot k\cdot (k+1),$$
где $C$ - константа, а $k$ принимает значения 1, 2, ...

Должны быть выполнены два условия:

1) Все вероятности должны быть положительными.
2) Сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

Рассмотрим каждое из условий по отдельности.

1) Вероятности всегда должны быть положительными значениями. В данной формуле, значения $k$ также принимают положительные целые значения, начиная с 1, поэтому вероятность $P\{\xi =k\}$ будет положительна для любого $k$.

2) Теперь рассмотрим условие нормировки вероятности. Мы должны убедиться, что сумма всех вероятностей равна 1. Для этого вычислим сумму всех вероятностей:

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}P\{\xi =k\}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}C\cdot k\cdot (k+1).$$

Поскольку мы имеем бесконечную сумму, нам нужно убедиться, что она будет сходиться. Для этого нам понадобится определить значение постоянной $C$, чтобы сумма была конечной.

Для вычисления этой суммы, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}C\cdot k\cdot (k+1)=C\cdot \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(k^2+k).$$

Теперь объединим две суммы в одну общую сумму:

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(k^2+k)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^2+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k.$$

Для нахождения значений этих сумм, воспользуемся известными формулами для суммы квадратов и суммы первых $n$ натуральных чисел:

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$$
$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Подставим эти значения обратно в нашу общую сумму:

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(k^2+k)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}.$$

Таким образом, для того чтобы сумма была конечной, постоянная $C$ должна быть равна обратной величине этой суммы, так как сумма вероятностей должна равняться 1:

$$C=\frac{6}{n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)}.$$

Таким образом, значение постоянной $C$ будет зависеть от конкретного значения $n$, где $n$ - это неизвестное значение, так как задача не предоставляет ограничений на $n$. Однако, мы можем утверждать, что значение постоянной $C$ существует и зависит от $n$.