Каково значение постоянной в формуле для распределения случайной величины, определенной как P{ξ=k}=Ck(k+1), k=1,2,...?

Валентинович

10

Для определения значения постоянной в данной формуле, нам нужно использовать условие нормировки вероятности. Условие нормировки требует, чтобы сумма всех вероятностей была равной 1.

В данном случае, формула для распределения случайной величины имеет вид:

\[P\{\xi = k\} = C \cdot k \cdot (k + 1),\]
где \(C\) - константа, а \(k\) принимает значения 1, 2, ...

Должны быть выполнены два условия:

1) Все вероятности должны быть положительными.
2) Сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

Рассмотрим каждое из условий по отдельности.

1) Вероятности всегда должны быть положительными значениями. В данной формуле, значения \(k\) также принимают положительные целые значения, начиная с 1, поэтому вероятность \(P\{\xi = k\}\) будет положительна для любого \(k\).

2) Теперь рассмотрим условие нормировки вероятности. Мы должны убедиться, что сумма всех вероятностей равна 1. Для этого вычислим сумму всех вероятностей:

\[\sum_{k=1}^{\infty}P\{\xi = k\} = \sum_{k=1}^{\infty}C \cdot k \cdot (k + 1).\]

Поскольку мы имеем бесконечную сумму, нам нужно убедиться, что она будет сходиться. Для этого нам понадобится определить значение постоянной \(C\), чтобы сумма была конечной.

Для вычисления этой суммы, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[\sum_{k=1}^{\infty}C \cdot k \cdot (k + 1) = C \cdot \sum_{k=1}^{\infty}(k^2 + k).\]

Теперь объединим две суммы в одну общую сумму:

\[\sum_{k=1}^{\infty}(k^2 + k) = \sum_{k=1}^{\infty}k^2 + \sum_{k=1}^{\infty}k.\]

Для нахождения значений этих сумм, воспользуемся известными формулами для суммы квадратов и суммы первых \(n\) натуральных чисел:

\[\sum_{k=1}^{\infty}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\]
\[\sum_{k=1}^{\infty}k = \frac{n(n+1)}{2}.\]

Подставим эти значения обратно в нашу общую сумму:

\[\sum_{k=1}^{\infty}(k^2 + k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}.\]

Таким образом, для того чтобы сумма была конечной, постоянная \(C\) должна быть равна обратной величине этой суммы, так как сумма вероятностей должна равняться 1:

\[C = \frac{6}{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}.\]

Таким образом, значение постоянной \(C\) будет зависеть от конкретного значения \(n\), где \(n\) - это неизвестное значение, так как задача не предоставляет ограничений на \(n\). Однако, мы можем утверждать, что значение постоянной \(C\) существует и зависит от \(n\).