What is the solution to the equation 0.25x^2 times the square root of x-4 equals the square root of 625x-2500?

Пчела

32

Давайте рассмотрим данное уравнение по шагам для его решения:

1. Начнем с записи уравнения:

\[0.25x^2 \cdot \sqrt{x} - 4 = \sqrt{625x - 2500}\]

2. Для начала упростим выражение \(0.25x^2 \cdot \sqrt{x}\). Чтобы упростить его, давайте представим \(\sqrt{x}\) как \(x^{1/2}\).

Таким образом, \(0.25x^2 \cdot \sqrt{x} = 0.25x^2 \cdot x^{1/2} = 0.25x^{5/2}\).

3. Подставим это обновленное значение обратно в уравнение:

\[0.25x^{5/2} - 4 = \sqrt{625x - 2500}\]

4. Теперь сократим и упростим выражение на правой стороне уравнения:

\(\sqrt{625x - 2500} = \sqrt{625(x - 4)} = 25\sqrt{x - 4}\)

5. Теперь уравнение примет следующий вид:

\[0.25x^{5/2} - 4 = 25\sqrt{x - 4}\]

6. Давайте избавимся от корня на правой стороне, чтобы выразить \(x\) без корня:

\[25\sqrt{x - 4} = 0.25x^{5/2} - 4\]

Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[(25\sqrt{x - 4})^2 = (0.25x^{5/2} - 4)^2\]

\[625(x - 4) = 0.0625x^5 - 2x^{5/2} + 16\]

7. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[625x - 2500 = 0.0625x^5 - 2x^{5/2} + 16\]

8. Перенесем все члены этого уравнения в одну сторону, чтобы привести его к стандартной форме:

\[0.0625x^5 - 2x^{5/2} - 625x + 2500 + 16 = 0\]

9. Теперь это уравнение выглядит следующим образом:

\[0.0625x^5 - 2x^{5/2} - 625x + 2516 = 0\]

Таким образом, решение уравнения будет значение переменной \(x\), которое удовлетворяет этому кубическому уравнению.