Каково значение производной функции f(x)=5x*cosx+2 в точке x0=пи/2?

Раиса

28

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Для того чтобы найти значение производной функции в заданной точке, нам необходимо выполнить два шага: первый шаг - найти производную функции, а второй шаг - подставить значение x0 в полученную производную.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x).
Для этого мы будем использовать правило дифференцирования произведения двух функций и правило дифференцирования тригонометрической функции.

Производная функции f(x) выражается в виде суммы производных слагаемых.
\[f"(x) = (5x)" * \cos(x) + 5x * (\cos(x))"\]

Дифференцируя функцию \(5x\) и \(\cos(x)\), получаем:
\[f"(x) = 5 * \cos(x) + 5x * (-\sin(x))\]

Упрощая выражение, получаем:
\[f"(x) = 5 * \cos(x) - 5x * \sin(x)\]

Шаг 2: Подставим значение x0 = \(\pi/2\) в полученную производную, чтобы найти значение производной в точке x0.
\[f"(\pi/2) = 5 * \cos(\pi/2) - 5(\pi/2) * \sin(\pi/2)\]

Мы знаем, что \(\cos(\pi/2) = 0\) и \(\sin(\pi/2) = 1\), поэтому:
\[f"(\pi/2) = 5 * 0 - 5(\pi/2) * 1\]
\[f"(\pi/2) = -5(\pi/2)\]

Таким образом, значение производной функции \(f(x) = 5x\cos(x) + 2\) в точке \(x0 = \pi/2\) равно \(-5(\pi/2)\).

Пожалуйста, обратите внимание, что я использовал LaTeX для обозначения формул и символов. Надеюсь, это помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!