Каково значение скалярного произведения этих векторов, если длина стороны куба равна

Mihaylovna

12

Для начала, давайте определим, что такое скалярное произведение векторов и как его вычислять.

Скалярное произведение векторов - это алгебраическая операция, результатом которой является число (скаляр). Оно определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Теперь рассмотрим задачу. У нас есть куб со стороной \(a\). Известно, что помимо вершин куба, мы можем также рассмотреть его центры ребер и граней. Таким образом, у нас имеются три оси: ось, проходящая через центры противоположных граней (ось \(A\)), ось, проходящая через центры противоположных ребер (ось \(B\)), и ось, проходящая через центры противоположных вершин (ось \(C\)).

Длины векторов, соответствующих этим осям, равны соответственно: \(A = a\), \(B = \frac{\sqrt{2}}{2} a\) и \(C = \frac{\sqrt{3}}{2} a\).

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение этих векторов. Рассмотрим пару векторов \(A\) и \(B\):

\[
A \cdot B = |A| \cdot |B| \cdot \cos(\theta)
\]

где \(|A|\) и \(|B|\) - длины векторов, \(\theta\) - угол между ними.

Для векторов, соответствующих осям \(A\) и \(B\), \(\theta = 90^\circ\), так как они перпендикулярны. Поэтому \(\cos(\theta) = \cos(90^\circ) = 0\).

Таким образом, скалярное произведение векторов \(A\) и \(B\) будет равно нулю.

Аналогично, мы можем вычислить скалярное произведение векторов \(A\) и \(C\), а также векторов \(B\) и \(C\).

Окончательные значения скалярных произведений будут:

\(A \cdot B = 0\)
\(A \cdot C = 0\)
\(B \cdot C = \frac{\sqrt{2}}{2} a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \cos(90^\circ) = 0\)

Таким образом, значения скалярного произведения этих векторов будут равны нулю.