Каков угол между прямыми dm и cl в правильном тетраэдре abcd, где длина ребра равна 1? Решите эту задачу, используя

Крокодил

60

Для решения этой задачи используем метод координат. Представим себе правильный тетраэдр ABCD в трехмерном пространстве.

Пусть точка D находится в начале координат (0,0,0), а ее проекции на оси координат составляют вектор \(\overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Также пусть точка A имеет проекции \(\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), B - \(\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} b \\ c \\ 0 \end{pmatrix}\), C - \(\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}\).

Рассмотрим прямую DM, проходящую через точку D и точку M. Пусть координаты точки M равны \(\overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\).

Теперь рассмотрим векторы \(\overrightarrow{DM}\) и \(\overrightarrow{CL}\). Они задаются следующими выражениями:

\(\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OD}\) и \(\overrightarrow{CL} = \overrightarrow{OL} - \overrightarrow{OC}\),
где точка L - проекция точки C на отрезок DM.

Так как \(\overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) и \(\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}\), то

\(\overrightarrow{DM} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) и \(\overrightarrow{CL} = \begin{pmatrix} x - d \\ y - e \\ z - f \end{pmatrix}\).

Формула для скалярного произведения двух векторов имеет вид:

\(\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{CL} = 0\).

Подставляем значения в эту формулу:

\(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x - d \\ y - e \\ z - f \end{pmatrix} = 0\).

Раскрываем скалярное произведение:

\(x(x-d) + y(y-e) + z(z-f) = 0\).

Раскрываем скобки:

\(x^2 - dx + y^2 - ey + z^2 - fz = 0\).

Так как мы знаем, что длина ребра тетраэдра равна 1, то векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) имеют длину 1.

С учетом этого условия, получаем следующую систему уравнений:

\(\begin{cases} a^2 = 1 \\ b^2 + c^2 = 1 \\ (d - a)^2 + e^2 + f^2 = 1 \end{cases}\).

Решим данную систему уравнений. Из первого уравнения получаем, что \(a = \pm 1\). Так как ребро тетраэдра положительной длины, то выбираем \(a = 1\).

Из второго уравнения получаем \(b = \pm \sqrt{1 - c^2}\). Из третьего уравнения получаем \(d = \pm \sqrt{1 - e^2 - f^2} + 1\).

Возвращаемся к уравнению \(x^2 - dx + y^2 - ey + z^2 - fz = 0\) и подставляем найденные значения в него:

\(x^2 - (\pm \sqrt{1 - e^2 - f^2} + 1)x + y^2 - ey + z^2 - fz = 0\).

Решаем получившееся квадратное уравнение относительно x, которое выглядит следующим образом:

\(x^2 \mp \sqrt{1 - e^2 - f^2} x + y^2 - ey + z^2 - fz = 0\).

Получаем два корня для x:

\(x_1 = \frac{\sqrt{1 - e^2 - f^2} + 1}{2}\) и \(x_2 = -\frac{\sqrt{1 - e^2 - f^2} + 1}{2}\).

Теперь найдем угол между прямыми DM и CL. Для этого воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя прямыми в трехмерном пространстве:

\(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{CL}}{\|\overrightarrow{DM}\| \cdot \|\overrightarrow{CL}\|}\),

где \(\theta\) - искомый угол.

Подставим найденные значения в эту формулу:

\(\cos \theta = \frac{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x - d \\ y - e \\ z - f \end{pmatrix}}{\|\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\| \cdot \|\begin{pmatrix} x - d \\ y - e \\ z - f \end{pmatrix}\|}\).

Вычисляем скалярное произведение в числителе:

\(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x - d \\ y - e \\ z - f \end{pmatrix} = xx - dx + yy - ey + zz - fz\).

Вычисляем длины векторов в знаменателе:

\(\|\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) и \(\|\begin{pmatrix} x - d \\ y - e \\ z - f \end{pmatrix}\| = \sqrt{(x - d)^2 + (y - e)^2 + (z - f)^2}\).

Теперь можно записать окончательную формулу:

\(\cos \theta = \frac{xx - dx + yy - ey + zz - fz}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{(x - d)^2 + (y - e)^2 + (z - f)^2}}\).

Таким образом, мы получили выражение для косинуса угла между прямыми DM и CL в зависимости от координат точек A, B и C.

Для нахождения самого угла \(\theta\) можно вычислить обратный косинус от полученного значения косинуса:

\(\theta = \arccos \left( \frac{xx - dx + yy - ey + zz - fz}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{(x - d)^2 + (y - e)^2 + (z - f)^2}} \right)\).

Подставляем в данное выражение значения переменных и получаем конкретную величину угла \(\theta\) между прямыми dm и cl в правильном тетраэдре abcd.