Каково выражение вектора ST в терминах векторов BA (а) и BC (b) в представленном параллелограмме ABCD, где на сторонах
Каково выражение вектора ST в терминах векторов BA (а) и BC (b) в представленном параллелограмме ABCD, где на сторонах AD и CD отмечены точки S и T соответственно, так что AS:SD=5:3 и CT:TD=2:1?
Танец 29
Чтобы найти выражение вектора \(ST\) через векторы \(BA\) и \(BC\), мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам. То есть, точка \(S\) является серединой диагонали \(AD\), а точка \(T\) является серединой диагонали \(CD\).Сначала найдем векторы \(AB\) и \(AC\) через векторы \(BA\) и \(BC\). Поскольку \(AB = -BA\) и \(AC = -BC\), мы можем записать:
\[
AB = -BA, \quad AC = -BC
\]
Теперь найдем вектор \(AS\). Поскольку \(AS\) делит отрезок \(AD\) в отношении 5:3, мы можем использовать формулу:
\[
AS = \left(\frac{5}{5+3}\right)AD - \left(\frac{3}{5+3}\right)AB
\]
Поскольку \(AD = AB + BC\), мы вставим значения \(AD\) и \(AB\) и получим:
\[
AS = \left(\frac{5}{8}\right)(AB + BC) - \left(\frac{3}{8}\right)(-BA)
\]
Упрощая, получаем:
\[
AS = \left(\frac{5}{8}\right)AB + \left(\frac{5}{8}\right)BC + \left(\frac{3}{8}\right)BA
\]
Теперь найдем вектор \(CT\). Поскольку \(CT\) делит отрезок \(CD\) в отношении 2:1, мы можем использовать формулу:
\[
CT = \left(\frac{2}{2+1}\right)CD - \left(\frac{1}{2+1}\right)BC
\]
Поскольку \(CD = BC + BA\), мы вставим значения \(CD\) и \(BC\) и получим:
\[
CT = \left(\frac{2}{3}\right)(BC + BA) - \left(\frac{1}{3}\right)BC
\]
Упрощая, получаем:
\[
CT = \left(\frac{2}{3}\right)BC + \left(\frac{2}{3}\right)BA + \left(\frac{1}{3}\right)BC
\]
Теперь, чтобы найти вектор \(ST\), мы вычисляем разность векторов \(AS\) и \(CT\):
\[
ST = AS - CT
\]
Подставляем значения \(AS\) и \(CT\) и упрощаем:
\[
ST = \left(\frac{5}{8}\right)AB + \left(\frac{5}{8}\right)BC + \left(\frac{3}{8}\right)BA - \left(\frac{2}{3}\right)BC - \left(\frac{2}{3}\right)BA - \left(\frac{1}{3}\right)BC
\]
Сгруппируем похожие векторы:
\[
ST = \left(\frac{5}{8}-\frac{2}{3}\right)AB + \left(\frac{5}{8}-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)BC + \left(\frac{3}{8}-\frac{2}{3}\right)BA
\]
После упрощения, получим окончательный ответ:
\[
ST = \left(-\frac{1}{24}\right)AB + \left(\frac{4}{24}\right)BC + \left(\frac{1}{24}\right)BA
\]
Таким образом, выражение вектора \(ST\) в терминах векторов \(BA\) и \(BC\) в параллелограмме ABCD равно \(-\frac{1}{24}AB + \frac{4}{24}BC + \frac{1}{24}BA\).