Каково значение третьей производной функции у=xlnx в точке х0 = 2 с точностью до 0,01?

Лисичка

24

Чтобы найти третью производную функции \(y = x \ln{x}\) в точке \(x_0 = 2\), мы сначала вычислим первую, вторую и третью производные этой функции, а затем подставим значение \(x_0 = 2\) в выражение для третьей производной.

1) Вычисление первой производной:
Для нахождения первой производной функции \(y = x \ln{x}\) мы будем использовать правило производной произведения двух функций и правило производной логарифма.

Для первого слагаемого \(x\) мы имеем производную \(1\).
Для второго слагаемого \(\ln{x}\) мы используем правило производной логарифма: производная \(\ln{x}\) равна \(\frac{1}{x}\).

Таким образом, первая производная функции \(y = x \ln{x}\) равна:
\[y" = 1 \cdot \ln{x} + x \cdot \frac{1}{x} = \ln{x} + 1\]

2) Вычисление второй производной:
Для нахождения второй производной функции \(y = x \ln{x}\), мы вычислим производную первой производной \(y"\).

Используя правило производной функции \(\ln{x}\), мы получаем, что производная первой производной \(\ln{x} + 1\) равна \(\frac{1}{x}\).

Таким образом, вторая производная функции \(y = x \ln{x}\) равна:
\[y"" = \frac{d}{dx}(\ln{x} + 1) = \frac{1}{x}\]

3) Вычисление третьей производной:
Для нахождения третьей производной функции \(y = x \ln{x}\), мы вычислим производную второй производной \(y""\).

Используя правило производной функции \(\frac{1}{x}\), мы получаем, что производная второй производной \(\frac{1}{x}\) равна \(-\frac{1}{x^2}\).

Таким образом, третья производная функции \(y = x \ln{x}\) равна:
\[y""" = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}\]

Теперь, чтобы найти значение третьей производной в точке \(x_0 = 2\), мы подставляем \(x_0\) в выражение для третьей производной:

\[y"""(x_0) = -\frac{1}{{x_0}^2} = -\frac{1}{{2}^2} = -\frac{1}{4}\]

Таким образом, значение третьей производной функции \(y = x \ln{x}\) в точке \(x_0 = 2\) равно \(-\frac{1}{4}\).