Каково значение второй производной функции у=0,5x arctgx в точке х0 = -1 с точностью до 0,01?

Пчела

6

Хорошо, давайте начнем с решения вашей задачи. Вы хотите найти значение второй производной функции \( у = 0,5x \cdot \arctan x \) в точке \( x_0 = -1 \) с точностью до 0,01.

1. Шаг: Найдем первую производную функции \( y \). Для этого мы воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций:
По правилу производной функции \( \arctan x \): \(\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}\)
А производная функции \( 0,5x \) равна просто 0,5.
Применяя умножение правила дифференцирования, найдем первую производную \( y" \):
\( y" = (0,5x) \cdot \frac{1}{1 + x^2} \).

2. Шаг: Теперь найдем вторую производную функции \( y \). Для этого найдем первую производную от \( y" \):
\( y"" = \frac{d}{dx}(y") \).

3. Шаг: Подставим значение \( x_0 = -1 \) в полученное выражение для \( y"" \):
\( y"" = \frac{d}{dx}(y") \) при \( x = -1 \).

4. Шаг: Вычислим \( y"" \) в точке \( x = -1 \):
Для этого заменим \( x \) на \( -1 \) в выражении для \( y"" \):
\( y""(-1) = \frac{d}{dx}(y") \) при \( x = -1 \).

5. Шаг: Вычислим \( y""(-1) \), используя полученное выражение:
\( y""(-1) = \frac{d}{dx}(y") \) при \( x = -1 \).

Теперь, когда мы разобрались с шагами решения, давайте приступим к вычислениям.

1. Вычислим первую производную \( y" \):
\( y" = (0,5x) \cdot \frac{1}{1 + x^2} \).
Подставим \( x = -1 \):
\( y"(-1) = (0,5 \cdot (-1)) \cdot \frac{1}{1 + (-1)^2} \).
Продолжаем вычисления:
\( y"(-1) = -0,5 \cdot \frac{1}{1 + 1} = -0,5 \cdot \frac{1}{2} = -0,25 \).

2. Найдем вторую производную \( y"" \):
\( y"" = \frac{d}{dx}(y") \).

3. Подставим \( x = -1 \) в полученное выражение для \( y"" \):
\( y""(-1) = \frac{d}{dx}(y") \) при \( x = -1 \).

4. Вычислим \( y""(-1) \):
Подставим \( x = -1 \) в выражение для \( y"" \):
\( y""(-1) = \frac{d}{dx}(y") \) при \( x = -1 \).

5. Вычислим \( y""(-1) \), используя полученное выражение:
\( y""(-1) = \frac{d}{dx}(y") \) при \( x = -1 \).

Теперь у нас есть значение второй производной функции \( y = 0,5x \cdot \arctan x \) в точке \( x_0 = -1 \), которое равно \( -0,25 \).

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять, как получить значение второй производной данной функции в заданной точке. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.