Каково значение выражения (3×(1/6a-1/7b))/(b/6-a/7), если а=√18, и в=1/√2?

Alena

61

Давайте рассмотрим задачу подробно.

У нас дано выражение: \(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{6a}} - \frac{1}{{7b}}\right)}}{{\frac{b}{6} - \frac{a}{7}}}\).

Нам также дано, что \(a = \sqrt{18}\) и \(b = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Давайте подставим значения \(a\) и \(b\) в наше выражение:

\(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{6 \cdot \sqrt{18}}} - \frac{1}{{7 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}}\right)}}{{\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{6} - \frac{\sqrt{18}}{7}}}\).

Для удобства продолжения решения, давайте приведём значения \(a\) и \(b\) к удобному виду.

\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).

\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь наше выражение примет вид:

\(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{6 \cdot 3\sqrt{2}}} - \frac{1}{{7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}}\right)}}{{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{6} - \frac{3\sqrt{2}}{7}}}\).

Упрощаем выражение:

\(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{18\sqrt{2}}} - \frac{1}{{\frac{7\sqrt{2}}{2}}}}\right)}}{{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{6} - \frac{3\sqrt{2}}{7}}}\).

\(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{18\sqrt{2}}} - \frac{1}{{\frac{7\sqrt{2}}{2}}}}\right)}}{{\frac{\sqrt{2}}{12} - \frac{3\sqrt{2}}{7}}}\).

Теперь произведём операции в числителе:

\(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{18\sqrt{2}}} - \frac{1}{{\frac{7\sqrt{2}}{2}}}}\right)}}{{\frac{\sqrt{2}}{12} - \frac{3\sqrt{2}}{7}}}\).

\(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{18\sqrt{2}}} - \frac{1}{{\frac{7}{2}\sqrt{2}}}}\right)}}{{\frac{\sqrt{2}}{12} - \frac{3}{7}\sqrt{2}}}\).

\(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{18\sqrt{2}}} - \frac{2}{{7\sqrt{2}}}}\right)}}{{\frac{\sqrt{2}}{12} - \frac{3}{7}\sqrt{2}}}\).

Общий знаменатель у нас равен \(\frac{\sqrt{2}}{12} - \frac{3}{7}\sqrt{2}\). Упростим его:

\(\frac{\sqrt{2}}{12} - \frac{3}{7}\sqrt{2} = \frac{7\sqrt{2}}{12 \cdot 7} - \frac{3 \cdot 12}{7 \cdot 12}\sqrt{2} = \frac{7\sqrt{2}}{84} - \frac{36\sqrt{2}}{84} = \frac{{(7 - 36)\sqrt{2}}}{84} = \frac{{-29\sqrt{2}}}{84}\).

Теперь вернёмся к нашему исходному выражению:

\(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{18\sqrt{2}}} - \frac{2}{{7\sqrt{2}}}}\right)}}{{\frac{\sqrt{2}}{12} - \frac{3}{7}\sqrt{2}}}\).

Подставим наше упрощенное значение знаменателя:

\(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{18\sqrt{2}}} - \frac{2}{{7\sqrt{2}}}}\right)}}{{\frac{{-29\sqrt{2}}}{84}}}\).

У нас осталось вычислить числитель:

\(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{18\sqrt{2}}} - \frac{2}{{7\sqrt{2}}}}\right)}}{{\frac{{-29\sqrt{2}}}{84}}} = \frac{{3 \cdot \left(\frac{1 \cdot 7}{{18\sqrt{2}} \cdot 7}} - \frac{2 \cdot 18}{{7\sqrt{2}} \cdot 18}}\right)}}{{\frac{{-29\sqrt{2}}}{84}}} = \frac{{3 \cdot \left(\frac{7}{{126\sqrt{2}}} - \frac{36}{{126\sqrt{2}}}}\right)}}{{\frac{{-29\sqrt{2}}}{84}}}\).

Продолжая упрощение, получаем:

\(\frac{{3 \cdot \left(\frac{{7 - 36}}{{126\sqrt{2}}}}\right)}}{{\frac{{-29\sqrt{2}}}{84}}} = \frac{{3 \cdot \frac{{-29}}{{126\sqrt{2}}}}}{\frac{{-29\sqrt{2}}}{84}}\).

Здесь мы можем сократить на \(-29\) и \(\sqrt{2}\):

\(\frac{{-\cancel{3} \cdot 1}}{{\cancel{3} \cdot 42}} = \frac{1}{42}\).

Таким образом, значение выражения \(\frac{{3 \cdot \left(\frac{1}{{6a}} - \frac{1}{{7b}}\right)}}{{b/6 - a/7}}\) при \(a=\sqrt{18}\) и \(b=1/\sqrt{2}\) равно \(\frac{1}{42}\).