Каково значение выражения 3sinx*sin3x-3cosx*cos3x, если 3cos(4п-4x)=1?

Вечный_Герой

23

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей. Дано уравнение \(3\cos(4\pi - 4x) = 1\). Мы должны найти значение выражения \(3\sin(x)\sin(3x) - 3\cos(x)\cos(3x)\).

Чтобы решить данную задачу, нужно использовать тригонометрические тождества. Давайте начнем!

1. Начнем с уравнения \(3\cos(4\pi - 4x) = 1\). Мы можем раскрыть скобки, зная, что \(\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\):
\[3(\cos(4\pi)\cos(-4x) + \sin(4\pi)\sin(-4x)) = 1.\]

2. Так как \(\cos(4\pi) = 1\) и \(\sin(4\pi) = 0\), упростим уравнение:
\[3(\cos(-4x) \cdot 1 + 0 \cdot \sin(-4x)) = 1.\]
\[3\cos(-4x) = 1.\]

3. Теперь обратимся к тождеству \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\):
\[3\cos(4x) = 1.\]

4. Разделим обе части на 3:
\[\cos(4x) = \frac{1}{3}.\]

Теперь, когда у нас имеется значение \(\cos(4x)\), давайте найдем значение исходного выражения \(3\sin(x)\sin(3x) - 3\cos(x)\cos(3x)\).

5. Заменим \(\cos(4x)\) на \(\frac{1}{3}\):
\[3\sin(x)\sin(3x) - 3\cos(x)\cos(3x) = 3\sin(x)\sin(3x) - 3\cos(x)\left(\frac{1}{3}\right).\]

6. Упростим уравнение:
\[3\sin(x)\sin(3x) - \cos(x) = 3\sin(x)\sin(3x) - \frac{1}{3}\cos(x).\]

А это и есть ответ на задачу. Значение выражения \(3\sin(x)\sin(3x) - \frac{1}{3}\cos(x)\) равно \(3\sin(x)\sin(3x) - \frac{1}{3}\cos(x)\).

Надеюсь, это решение помогло вам.