How can we find the first term and the common difference of an arithmetic progression if the third and fourth terms

Vitalyevich

29

Хорошо! Давайте начнем с поиска первого члена и разности арифметической прогрессии.

Для начала, давайте отметим, что арифметическая прогрессия состоит из последовательности чисел, где каждый следующий член получается прибавлением постоянного значения к предыдущему члену.

Дано, что третий член (a₃) равен -15, а четвертый член (a₄) равен -12. Мы также знаем, что разность между соседними членами одинакова в арифметической прогрессии.

Таким образом, мы можем использовать арифметическую формулу для нахождения a₃ и a₄. Вспомним формулу:

aₙ = a₁ + (n - 1)d,

где aₙ - n-ый член последовательности, a₁ - первый член, n - номер члена, d - разность.

Мы знаем, что a₃ равно -15, поэтому мы можем записать:

-15 = a₁ + (3 - 1)d.

Мы также знаем, что a₄ равно -12, поэтому мы можем записать:

-12 = a₁ + (4 - 1)d.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a₁ и d). Давайте решим эти уравнения, чтобы найти значения a₁ и d.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы получить:

-12 - (-15) = a₁ + (4 - 1)d - (a₁ + (3 - 1)d).

Упростим:

3 = d.

Таким образом, мы нашли значение разности d, которое равно 3.

Теперь, подставив это значение в одно из оригинальных уравнений (мы возьмем первое), мы можем найти a₁:

-15 = a₁ + (3 - 1) * 3.

-15 = a₁ + 2 * 3.

-15 = a₁ + 6.

Приравняем:

a₁ = -15 - 6.

a₁ = -21.

Мы нашли значение первого члена a₁, которое равно -21, и разности d, которая равна 3. Таким образом, первый член равен -21, а разность равна 3.

Теперь давайте найдем сумму первых 10 членов прогрессии. Мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ),

где Sₙ - сумма первых n членов, n - количество членов.

Мы хотим найти сумму первых 10 членов. Подставим известные значения:

S₁₀ = (10/2)(-21 + a₁₀).

Теперь нам нужно найти a₁₀, что является 10-м членом прогрессии. Мы знаем, что каждый новый член получается прибавлением разности d к предыдущему члену, поэтому:

a₁₀ = a₁ + (10 - 1)d.

a₁₀ = -21 + (10 - 1) * 3.

a₁₀ = -21 + 9 * 3.

a₁₀ = -21 + 27.

a₁₀ = 6.

Теперь подставим значение a₁₀ обратно в формулу суммы:

S₁₀ = (10/2)(-21 + 6).

S₁₀ = 5 * (-21 + 6).

S₁₀ = 5 * (-15).

S₁₀ = -75.

Таким образом, сумма первых 10 членов прогрессии равна -75.

Мы нашли первый член и разность арифметической прогрессии (a₁ = -21, d = 3) и сумму первых 10 членов (S₁₀ = -75).