Каково значение выражения: 3x−1−y−13x−1+y−1, при условии, что yx=4−1. Ответ (с минусом в числителе): 3x−1−y−13x−1+y−1

Савелий

21

Давайте разберемся с данным выражением пошагово. У нас есть значение $y$ в терминах $x$, а именно $y=\frac{4}{x}$. Заменим $y$ в исходном выражении:

$$3x^{-1}-\frac{1}{3x^{-1}+{\frac{4}{x}}^{-1}}$$

Далее, заметим, что в рамках отрицателей можем поменять знак:

$$3x^{-1}-\frac{1}{3x^{-1}+\frac{1}{4}x}$$

Теперь у нас есть две дроби с общими знаменателями. Для удобства, объединим их в одну дробь:

$$\frac{3x^{-1}\cdot (3x^{-1}+\frac{1}{4}x)-1}{3x^{-1}+\frac{1}{4}x}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{9x^{-2}+\frac{3}{4}{x}^{-1}-1}{3x^{-1}+\frac{1}{4}x}$$

Упростим числитель:

$$\frac{9x^{-2}+\frac{3}{4}{x}^{-1}-1}{3x^{-1}+\frac{1}{4}x}$$

Теперь можем выразить каждую дробь в отдельности и объединить их:

$$\frac{9}{x^2}+\frac{3}{4x}-\frac{1}{3x}-\frac{1}{4x}$$

Для сложения дробей необходимо привести их к общему знаменателю, который в данном случае будет $4x$:

$$\frac{9\cdot 4+3-x-\frac{1}{4}}{4x}$$

Упростим числитель:

$$\frac{27-x}{4x}$$

Итак, значение выражения $3x^{-1}-y^{-1}$ при условии $yx=4^{-1}$ равно:

$$\frac{27-x}{4x}$$