Каково значение выражения 4*sin25*cos25*cos50 - sin80?

Sladkaya_Babushka

49

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Выражение, которое вам дано, выглядит следующим образом:
\[4 \cdot \sin(25) \cdot \cos(25) \cdot \cos(50) - \sin(80).\]

Для начала, вспомним некоторые свойства синуса и косинуса.

Синус и косинус дополнительных углов имеют следующие значения:
\[\sin(90 - x) = \cos(x)\]
\[\cos(90 - x) = \sin(x)\]

Также, угол 80 градусов можно представить как разность углов 90 градусов и 10 градусов:
\[80 = 90 - 10.\]

Теперь мы можем воспользоваться этими свойствами, чтобы упростить наше выражение.

Давайте рассмотрим каждую часть выражения по отдельности:

1) \(\sin(25) \cdot \cos(25)\):
Согласно формуле двойного угла, значение данного выражения можно переписать в следующем виде:
\(\sin(2 \cdot 25) = \sin(50)\).

2) \(\cos(50)\):
Мы получили, что \(\sin(25) \cdot \cos(25) \cdot \cos(50) = \sin(50) \cdot \cos(50)\).

3) \(\sin(80)\):
Используя уже упомянутые свойства синуса и косинуса, мы можем переписать данный угол следующим образом:
\(\sin(80) = \sin(90-10) = \cos(10)\).

Теперь, подставим все значения обратно в исходное выражение:

\[4 \cdot \sin(25) \cdot \cos(25) \cdot \cos(50) - \sin(80) = 4 \cdot \sin(50) \cdot \cos(50) - \cos(10).\]

Теперь можем воспользоваться формулой для произведения синуса и косинуса:

\(\sin(x) \cdot \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)\), которую можно привести к виду:
\(2 \sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)\).

Используя эту формулу, выражение примет следующий вид:
\[4 \cdot \sin(50) \cdot \cos(50) - \cos(10) = 2 \sin(50) \cos(50) - \cos(10).\]

Мы почти получили новый угол, в котором синус и косинус перевернуты. Вспомним, что \(\cos(x) = \sin(90 - x)\). Подставим данное значение в выражение и продолжим:

\[2 \sin(50) \cos(50) - \cos(10) = 2 \sin(50) \cdot \sin(40) - \cos(10).\]

Теперь можем воспользоваться формулой суммы синусов:

\(\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left(\frac{{x + y}}{2}\right) \cos\left(\frac{{x - y}}{2}\right)\), которую можно преобразовать к виду:

\(\sin(x) = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)\).

Используя эту формулу, получаем:

\[2 \sin(50) \cdot \sin(40) - \cos(10) = \sin(50 + 40) - \cos(10).\]

Теперь можем рассчитать синус суммы углов:

\(\sin(x + y) = \sin(x) \cdot \cos(y) + \cos(x) \cdot \sin(y)\).

Подставим значения в выражение:

\[\sin(50 + 40) - \cos(10) = \sin(50) \cdot \cos(40) + \cos(50) \cdot \sin(40) - \cos(10).\]

Дальнейшие упрощения невозможны без точных численных значений синуса и косинуса углов 40, 50 и 10 градусов. Это можно вычислить при помощи калькулятора или математического программного обеспечения.