Каково значение выражения 5 cos(a+b), если известно, что sin a =-3/5, cos b=7/25, а значение угла a находится

Matvey

47

Для начала, нам нужно найти значение sin(b). Мы можем использовать соотношение между синусом и косинусом: \(\sin^2(b) + \cos^2(b) = 1\). Подставив известное значение \(\cos(b) = \frac{7}{25}\) в это уравнение, мы можем найти \(\sin(b)\).

\(\sin^2(b) + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1\)

\(\sin^2(b) + \frac{49}{625} = 1\)

\(\sin^2(b) = 1 - \frac{49}{625}\)

\(\sin^2(b) = \frac{576}{625}\)

Так как значение угла b находится в диапазоне от \(3\pi/2\) до \(2\pi\), то sin(b) будет отрицательным числом. Таким образом, \(\sin(b) = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25}\).

Теперь, чтобы выразить выражение \(5\cos(a+b)\), мы должны найти значение \(\cos(a+b)\). Мы можем использовать формулу для суммы углов: \(\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\).

Заменяя известные значения в формуле, мы получаем:

\(\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\)

\(\cos(a+b) = \cos(a)\cdot\frac{7}{25} - \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\left(-\frac{24}{25}\right)\)

\(\cos(a+b) = \cos(a)\cdot\frac{7}{25} + \frac{3}{5}\cdot\frac{24}{25}\)

Теперь нам нужно найти значение \(\cos(a)\). Известно, что \(\sin(a) = -\frac{3}{5}\), и значение угла a находится в диапазоне от \(\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\).

Если мы используем тригонометрический квадрант II для этого диапазона, то \(\cos(a)\) будет отрицательным числом.

Так как \(\sin(a) = -\frac{3}{5}\) и \(\cos(a)\) отрицательное число, мы можем использовать теорему Пифагора для определения значения \(\cos(a)\). Таким образом, \(\cos(a) = -\sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = -\frac{4}{5}\).

Подставим это значение в выражение для \(\cos(a+b)\):

\(\cos(a+b) = \left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\frac{7}{25} + \frac{3}{5}\cdot\frac{24}{25}\)

\(\cos(a+b) = -\frac{28}{125} + \frac{72}{125}\)

\(\cos(a+b) = \frac{44}{125}\)

Наконец, выразим \(5\cos(a+b)\):

\(5\cos(a+b) = 5\cdot\frac{44}{125}\)

\(5\cos(a+b) = \frac{220}{125}\)

Если мы упростим эту дробь, получим:

\(5\cos(a+b) = \frac{44}{25}\)

Таким образом, значение выражения \(5\cos(a+b)\) равно \(\frac{44}{25}\).