Каково значение выражения √54*90*15 (под одним корнем) и как его можно решить?

Ягода

31

Чтобы найти значение выражения \(\sqrt{54\cdot 90\cdot 15}\) с корнем под знаком радикала, мы можем разложить каждое число на его простые множители и затем применить свойства корней. Давайте разберемся:

Сначала разложим каждое число на простые множители:
\(54 = 2 \cdot 3^3\)
\(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\)
\(15 = 3 \cdot 5\)

Теперь мы можем записать выражение с разложением на простые множители:
\(\sqrt{2 \cdot 3^3 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5}\)

Используя свойства корней, мы можем переписать выражение:
\(\sqrt{(2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5)}\)

Далее, мы можем сократить квадратные корни:
\(\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}\)

И теперь, используя свойство корня из произведения, мы можем записать значение выражения:
\(2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\)

Таким образом, значение выражения \(\sqrt{54\cdot 90\cdot 15}\) равно 30.

Мы пошагово разложили каждое число на простые множители, а затем использовали свойства корней для упрощения и нахождения значения выражения.