Каково значение выражения abc+1/(abc), если a, b и c - действительные числа, удовлетворяющие условиям a+1/b=9, b+1/c=10

Lapulya

55

Для решения данной задачи нам необходимо использовать информацию о значениях $a+1/b$, $b+1/c$ и $c+1/a$.

Начнем с выражения $a+1/b=9$. Мы можем выразить $a$ через $b$ следующим образом:
$$a=9-\frac{1}{b}$$

Теперь перейдем ко второму выражению $b+1/c=10$. Выразим $b$ через $c$:
$$b=10-\frac{1}{c}$$

В третьем выражении $c+1/a=11$ выразим $c$ через $a$:
$$c=11-\frac{1}{a}$$

Теперь, используя полученные выражения $a$, $b$ и $c$, подставим их в заданное выражение $abc+1/(abc)$ и упростим:

$$\begin{array}{rl}abc+\frac{1}{abc}& =(9-\frac{1}{b})(10-\frac{1}{c})(11-\frac{1}{a})+\frac{1}{(9-\frac{1}{b})(10-\frac{1}{c})(11-\frac{1}{a})}\\ & =(9\cdot 10\cdot 11-9\cdot 10\cdot \frac{1}{a}-9\cdot \frac{1}{b}\cdot 11+9\cdot \frac{1}{b}\cdot \frac{1}{a}-\frac{1}{c}\cdot 10\cdot 11+\frac{1}{c}\cdot 10\cdot \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\cdot \frac{1}{c}\cdot 11-\frac{1}{b}\cdot \frac{1}{c}\cdot \frac{1}{a})\\ & +\frac{1}{(9\cdot 10\cdot 11-9\cdot 10\cdot \frac{1}{a}-9\cdot \frac{1}{b}\cdot 11+9\cdot \frac{1}{b}\cdot \frac{1}{a}-\frac{1}{c}\cdot 10\cdot 11+\frac{1}{c}\cdot 10\cdot \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\cdot \frac{1}{c}\cdot 11-\frac{1}{b}\cdot \frac{1}{c}\cdot \frac{1}{a})}\end{array}$$

Теперь упростим полученное выражение:
$$abc+\frac{1}{abc}=990-\frac{90}{a}-\frac{110}{b}-\frac{99}{c}+\frac{9}{ab}+\frac{11}{ac}+\frac{10}{bc}-\frac{1}{abc}+\frac{1}{990-\frac{90}{a}-\frac{110}{b}-\frac{99}{c}+\frac{9}{ab}+\frac{11}{ac}+\frac{10}{bc}-\frac{1}{abc}}$$

Итак, значение выражения $abc+\frac{1}{abc}$ равно $990-\frac{90}{a}-\frac{110}{b}-\frac{99}{c}+\frac{9}{ab}+\frac{11}{ac}+\frac{10}{bc}-\frac{1}{abc}+\frac{1}{990-\frac{90}{a}-\frac{110}{b}-\frac{99}{c}+\frac{9}{ab}+\frac{11}{ac}+\frac{10}{bc}-\frac{1}{abc}}$.

Надеюсь, что данный подробный расчет помог вам понять, каким образом было получено значение этого выражения. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.