Каково значение выражения abc+1/(abc), если a, b и c - действительные числа, удовлетворяющие условиям a+1/b=9, b+1/c=10

Lapulya

55

Для решения данной задачи нам необходимо использовать информацию о значениях \(a+1/b\), \(b+1/c\) и \(c+1/a\).

Начнем с выражения \(a+1/b=9\). Мы можем выразить \(a\) через \(b\) следующим образом:
\[a = 9 - \frac{1}{b}\]

Теперь перейдем ко второму выражению \(b+1/c=10\). Выразим \(b\) через \(c\):
\[b = 10 - \frac{1}{c}\]

В третьем выражении \(c+1/a=11\) выразим \(c\) через \(a\):
\[c = 11 - \frac{1}{a}\]

Теперь, используя полученные выражения \(a\), \(b\) и \(c\), подставим их в заданное выражение \(abc+1/(abc)\) и упростим:

\[
\begin{align*}
abc + \frac{1}{abc} &= \left(9 - \frac{1}{b}\right)\left(10 - \frac{1}{c}\right)\left(11 - \frac{1}{a}\right) + \frac{1}{\left(9 - \frac{1}{b}\right)\left(10 - \frac{1}{c}\right)\left(11 - \frac{1}{a}\right)} \\
&= \left(9\cdot10\cdot11 - 9\cdot10\cdot\frac{1}{a} - 9\cdot\frac{1}{b}\cdot11 + 9\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{a} - \frac{1}{c}\cdot10\cdot11 + \frac{1}{c}\cdot10\cdot\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}\cdot11 - \frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}\cdot\frac{1}{a}\right) \\
&+ \frac{1}{\left(9\cdot10\cdot11 - 9\cdot10\cdot\frac{1}{a} - 9\cdot\frac{1}{b}\cdot11 + 9\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{a} - \frac{1}{c}\cdot10\cdot11 + \frac{1}{c}\cdot10\cdot\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}\cdot11 - \frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}\cdot\frac{1}{a}\right)}
\end{align*}
\]

Теперь упростим полученное выражение:
\[
abc + \frac{1}{abc} = 990 - \frac{90}{a} - \frac{110}{b} - \frac{99}{c} + \frac{9}{ab} + \frac{11}{ac} + \frac{10}{bc} - \frac{1}{abc} + \frac{1}{990 - \frac{90}{a} - \frac{110}{b} - \frac{99}{c} + \frac{9}{ab} + \frac{11}{ac} + \frac{10}{bc} - \frac{1}{abc}}
\]

Итак, значение выражения \(abc+\frac{1}{abc}\) равно \(990 - \frac{90}{a} - \frac{110}{b} - \frac{99}{c} + \frac{9}{ab} + \frac{11}{ac} + \frac{10}{bc} - \frac{1}{abc} + \frac{1}{990 - \frac{90}{a} - \frac{110}{b} - \frac{99}{c} + \frac{9}{ab} + \frac{11}{ac} + \frac{10}{bc} - \frac{1}{abc}}\).

Надеюсь, что данный подробный расчет помог вам понять, каким образом было получено значение этого выражения. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.