Каково значение выражения Cos3a-cos5a, при условии, что значения cos a равно?

Святослав

60

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

У нас дано выражение \( \cos 3a - \cos 5a \) и известно, что значение \( \cos a \) нам неизвестно. Чтобы решить эту задачу, нам нужно воспользоваться тригонометрическими формулами.

Первая формула, которую мы можем использовать, называется формулой разности косинусов:
\[ \cos A - \cos B = -2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \]

Таким образом, наше выражение может быть преобразовано следующим образом:
\[ \cos 3a - \cos 5a = -2\sin \left(\frac{3a+5a}{2}\right)\sin \left(\frac{3a-5a}{2}\right) \]

Далее, у нас есть формула синуса суммы:
\[ \sin A + \sin B = 2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \]

Теперь мы можем использовать эту формулу для упрощения нашего выражения:
\[ \sin \left(\frac{3a+5a}{2}\right)\sin \left(\frac{3a-5a}{2}\right) = 2\sin \left(\frac{3a+5a}{2}\right)\cos \left(\frac{3a-5a}{2}\right) \]

Теперь можно заменить углы внутри функций синуса и косинуса на значения, которые у нас есть. В данной задаче у нас дано только значение \( \cos a \), поэтому не будем углубляться в более сложные решения.

Итак, подставим значения:
\[ 2\sin \left(\frac{3a+5a}{2}\right)\cos \left(\frac{3a-5a}{2}\right) = 2\sin \left(\frac{8a}{2}\right)\cos \left(\frac{-2a}{2}\right) \]

Теперь упростим еще раз:
\[ 2\sin 4a \cos (-a) \]

Мы знаем, что \( \cos (-a) \) равно \( \cos a \) (косинус является четной функцией). Таким образом, наше выражение может быть дальше упрощено:
\[ 2\sin 4a \cos a \]

Теперь, если у нас есть изначальное значение \( \cos a \), мы можем умножить его на значение \( \sin 4a \) для получения окончательного ответа.

Таким образом, значение выражения \( \cos 3a - \cos 5a \) при условии, что \( \cos a \) равен некоторому значению, равно \( 2\cos a \sin 4a \).

Надеюсь, это подробное пояснение помогло вам понять решение этой задачи. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!