Каково значение выражения log4(16b), если b > 0, log4(b^2)?

Скат

41

Для решения данной задачи, нам потребуется знание свойств логарифмов и алгебры.

Дано выражение: \(\log_4(16b)\)

Для начала, давайте вспомним основное свойство логарифма, а именно:

\(\log_a(b)\) - это число \(x\), которое удовлетворяет равенству \(a^x = b\)

Таким образом, выражение \(\log_4(16b)\) означает, что мы ищем число \(x\), для которого верно равенство \(4^x = 16b\)

Чтобы решить эту задачу, мы можем разложить числа 4 и 16 на их простые множители:

\[4 = 2^2\]
\[16 = 2^4\]

Теперь мы можем заменить числа в выражении:

\(\log_4(16b) = \log_4(2^4 b)\)

Теперь применим одно из свойств логарифма: \(\log_a(b^c) = c\log_a(b)\)

Применяя это свойство к нашему выражению, мы можем переписать его следующим образом:

\(\log_4(2^4 b) = 4 \log_4(2b)\)

Теперь у нас есть выражение \(\log_4(2b)\), но нам также дано значение \(\log_4(b^2)\)

Используя свойство логарифма \(\log_a(b^c) = c\log_a(b)\), мы можем переписать \(\log_4(b^2)\):

\(\log_4(b^2) = 2 \log_4(b)\)

Теперь у нас есть два выражения:

\(\log_4(2b)\) и \(2 \log_4(b)\)

Мы можем использовать данную информацию для нахождения значения \(\log_4(16b)\)

Согласно правилам алгебры, мы можем перемножить два логарифма с такими же основаниями:

\(\log_4(16b) = 4 \log_4(2b) = 4(2 \log_4(b)) = 8 \log_4(b)\)

Таким образом, значение выражения \(\log_4(16b)\) равно \(8 \log_4(b)\)

Надеюсь, что подробное объяснение помогло вам лучше понять решение задачи. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.