Каково значение выражения, умноженного на корень из 12, где выражение представляет собой квадрат косинуса 5п/12

Pingvin

55

Для начала, давайте рассмотрим выражение, которое дано в задаче: квадрат косинуса \(5\pi/12\).

Квадрат косинуса \((\cos x)^2\) представляет собой квадрат значения функции косинуса в угле \(x\). Так как \(x = 5\pi/12\), мы можем вычислить значение косинуса этого угла, а затем возвести его в квадрат.

Для вычисления косинуса \(\cos (5\pi/12)\) мы можем использовать тригонометрическую формулу половинного угла \(\cos (2\theta) = \sqrt{\frac{1 + \cos (2\theta)}{2}}\). Применим эту формулу, чтобы найти значение косинуса \(\cos (5\pi/6)\).

\[
\begin{align*}
\cos (5\pi/12) &= \sqrt{\frac{1 + \cos (10\pi/12)}{2}} \\
&= \sqrt{\frac{1 + \cos (5\pi/6)}{2}} \\
&= \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \\
&= \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}} \\
&= \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \\
&= \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \\
&= \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть значение косинуса \(5\pi/12\). Давайте продолжим и рассмотрим вторую часть выражения - корень из 12.

\(\sqrt{12}\) равно \(\sqrt{4 \cdot 3}\), что равно \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}\), т.е. \(2 \cdot \sqrt{3}\).

Теперь, когда мы знаем значения обоих частей выражения, мы можем найти их произведение:

\[
\left(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}\right) \cdot (2 \cdot \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{2}
\]

Заметим, что здесь в обоих числителях и знаменателях появляется корень из 2, который можно сократить:

\[
\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3(2+\sqrt{3})} = \sqrt{6 + 3\sqrt{3}}
\]

Итак, значение выражения, умноженного на корень из 12, где выражение представляет собой квадрат косинуса \(5\pi/12\), вычитанного из корня, равно \(\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}\).

Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам лучше понять данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!