Каково значение выражения (x^2-8x+16)/(x^2-9) ÷ (3x-12)/(6x-18)?

Poyuschiy_Homyak

37

Чтобы решить данную задачу, мы начнем с упрощения выражения. Нам нужно разделить одно выражение на другое, поэтому мы можем использовать правило деления дробей, которое заключается в умножении первой дроби на обратную второй дробь.

Для начала представим, что \(\frac{{(x^2-8x+16)}}{{(x^2-9)}}\) это первая дробь \(A\), а \(\frac{{(3x-12)}}{{(6x-18)}}\) это вторая дробь \(B\).

Пошаговое решение:
1) Упростим первую дробь \(A\):
\(\frac{{x^2-8x+16}}{{x^2-9}}\)

Раскроем скобки в числителе:
\(\frac{{x^2-8x+16}}{{(x+3)(x-3)}}\)

2) Упростим вторую дробь \(B\):
\(\frac{{3x-12}}{{6x-18}}\)

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:
\(\frac{{3(x-4)}}{{6(x-3)}}\)

Упростим:
\(\frac{{x-4}}{{2(x-3)}}\)

Теперь, чтобы разделить дробь \(A\) на дробь \(B\), мы умножим \(A\) на обратную \(B\):
\(\frac{{(x^2-8x+16)}}{{(x+3)(x-3)}} \cdot \frac{{2(x-3)}}{{x-4}}\)

Умножим числитель и знаменатель:
\(\frac{{2(x-3)(x^2-8x+16)}}{{(x+3)(x-3)(x-4)}}\)

Теперь можем упростить числитель и знаменатель.
Для числителя, раскроем скобки и сократим:

\[
2(x-3)(x^2-8x+16)=2(x-3)(x-4)(x-4)=2(x-3)(x-4)^2
\]

Для знаменателя, учтем, что \(x+3\) и \(x-3\) сокращаются между собой:

\[
(x+3)(x-3)(x-4)
\]

Окончательный ответ:

\[
\frac{{2(x-3)(x-4)^2}}{{(x+3)(x-4)}}
\]

Таким образом, значение данного выражения равно \(\frac{{2(x-3)(x-4)^2}}{{(x+3)(x-4)}}\) или, если \(x \neq -3\) и \(x \neq 4\), можно сократить схожие множители и ответ будет:

\[
2(x-4)
\]