На сколько процентов выросли цены на товары в магазине за год, если владелец дважды повысил их в среднем на 10%?

Иванович

24

Для решения этой задачи мы можем использовать понятие процентного изменения. Давайте разберемся пошагово.

Пусть исходная цена товара была \(P_0\). Владелец повысил цену на 10% в первый раз, что означает, что новая цена будет \(P_1 = P_0 + 0.1P_0 = 1.1P_0\).

Затем владелец повысил цену еще на 10% второй раз. Но следует заметить, что вторая повышение происходит уже на новую цену, а не на исходную. Поэтому, новая цена после второго повышения будет \(P_2 = P_1 + 0.1P_1 = 1.1P_1\).

Мы хотим найти, на сколько процентов выросли цены за год, поэтому нужно сравнить конечную цену \(P_2\) с исходной ценой \(P_0\).

\[
\text{процентный рост} = \frac{{P_2 - P_0}}{{P_0}} \times 100
\]

Подставив значения и упростив выражение, получаем:

\[
\text{процентный рост} = \frac{{1.1P_1 - P_0}}{{P_0}} \times 100
\]

Теперь нам нужно выразить \(P_1\) через исходную цену \(P_0\) с использованием первого повышения цены на 10%. Заметим, что \(P_1 = 1.1P_0\).

Подставляя это значение, мы получаем:

\[
\text{процентный рост} = \frac{{1.1(1.1P_0) - P_0}}{{P_0}} \times 100
\]

Упростив это выражение, получаем:

\[
\text{процентный рост} = \frac{{1.21P_0 - P_0}}{{P_0}} \times 100
\]

\[
\text{процентный рост} = \frac{{0.21P_0}}{{P_0}} \times 100
\]

\[
\text{процентный рост} = 21
\]

Таким образом, цены на товары в магазине выросли на 21% за год.