Каково значение высоты пирамиды относительно ее основания с вершинами в точках а(1, 2, 3), в(-2, 4, 1), с(7, 6

Paryaschaya_Feya

27

Чтобы найти высоту пирамиды относительно ее основания с вершинами в точках а(1, 2, 3), в(-2, 4, 1), с(7, 6, 3), и д(4, -3, -1), мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдите векторы, образованные между вершинами пирамиды. Для этого вычисляем разность координат между парами точек:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\)
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\)
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}\)

2. Найдите нормальный вектор для основания пирамиды. Для этого мы можем воспользоваться произведением векторов:

\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{n}\)

3. Учитывая, что высота пирамиды является перпендикулярной линией, идущей от вершины пирамиды к плоскости основания, мы можем найти высоту, измеряя расстояние от вершины до плоскости основания.

Теперь рассмотрим каждый шаг более подробно:

Шаг 1: Найдите векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\):

\(\overrightarrow{AB} = (-2-1, 4-2, 1-3) = (-3, 2, -2)\)
\(\overrightarrow{AC} = (7-1, 6-2, 3-3) = (6, 4, 0)\)
\(\overrightarrow{AD} = (4-1, -3-2, -1-3) = (3, -5, -4)\)

Шаг 2: Найдите нормальный вектор \(\overrightarrow{n}\) для основания пирамиды, используя векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\-3 & 2 & -2\\6 & 4 & 0\end{vmatrix}\)

Раскроем определитель и вычислим его:

\(\overrightarrow{n} = (8, -12, -24)\)

Шаг 3: Найдите высоту пирамиды с помощью формулы:

\(h = \frac{\left|\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\)

Запишем значения векторов: \(\overrightarrow{AD} = (3, -5, -4)\) и \(\overrightarrow{n} = (8, -12, -24)\)

\(\left|\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{n}\right| = |(3 \cdot 8) + (-5 \cdot -12) + (-4 \cdot -24)| = |24 + 60 + 96| = |180| = 180\)

\(\left|\overrightarrow{n}\right| = \sqrt{8^2 + (-12)^2 + (-24)^2} = \sqrt{64 + 144 + 576} = \sqrt{784} = 28\)

Теперь можем вычислить значение высоты:

\(h = \frac{180}{28} \approx 6.4\)

Таким образом, значение высоты пирамиды относительно ее основания с вершинами в точках а(1, 2, 3), в(-2, 4, 1), с(7, 6, 3), и д(4, -3, -1) составляет примерно 6.4 с точностью до одного знака после запятой.