Каковы длина высоты цилиндра и радиус основания, при условии, что диагональ осевого сечения цилиндра равна 4 дм и угол

Звёздочка

62

Чтобы рассчитать длину высоты цилиндра и радиус основания, необходимо использовать геометрические свойства цилиндра.

В данной задаче у нас есть диагональ осевого сечения цилиндра, равная 4 дм, и угол между этой диагональю и плоскостью основания цилиндра, равный 45 градусам.

Для начала, давайте определим, что имеется в виду под "диагональю осевого сечения цилиндра". Поскольку цилиндр имеет две окружности в основаниях и прямоугольную боковую поверхность, то диагональю осевого сечения цилиндра является отрезок, соединяющий центры оснований и проходящий через центр боковой поверхности.

Для решения задачи проведем небольшую дополнительную геометрическую конструкцию. Допустим, центры оснований и центр боковой поверхности образуют прямоугольный треугольник. Обозначим одну из катетов треугольника как радиус основания цилиндра (r), а гипотенузу как длину диагонали осевого сечения цилиндра (d).

Теперь, используя геометрические свойства прямоугольного треугольника, мы можем применить теорему Пифагора:

$$d^2=r^2+h^2$$

где d - длина диагонали осевого сечения цилиндра, r - радиус основания цилиндра и h - высота цилиндра.

Ранее было сказано, что длина диагонали осевого сечения цилиндра равна 4 дм, следовательно,

$$d=4\text{дм}$$

Теперь подставим это в уравнение Пифагора и найдем высоту цилиндра:

$$4^2=r^2+h^2$$

$$16=r^2+h^2$$

Мы также знаем, что угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания составляет 45 градусов. Зная это, мы можем установить связь между радиусом основания и высотой с помощью тригонометрических функций.

Поскольку мы знаем катет прямоугольного треугольника (r) и угол (45 градусов) между этим катетом и гипотенузой, мы можем использовать тригонометрическую функцию синус:

$\sin ({45}^{\circ })=\frac{r}{d}$

$\frac{r}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$r=\frac{4}{\sqrt{2}}$

Теперь, найдя значение радиуса основания, мы можем подставить его обратно в уравнение Пифагора, чтобы найти значение высоты цилиндра:

$$16={\left(\frac{4}{\sqrt{2}}\right)}^2+h^2$$

$$16=\frac{16}{2}+h^2$$

$$8=h^2$$

$$h=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

Таким образом, длина высоты цилиндра составляет $2\sqrt{2}$ дм, а радиус основания - $\frac{4}{\sqrt{2}}$ дм.