Каковы длина высоты цилиндра и радиус основания, при условии, что диагональ осевого сечения цилиндра равна 4 дм и угол

Звёздочка

62

Чтобы рассчитать длину высоты цилиндра и радиус основания, необходимо использовать геометрические свойства цилиндра.

В данной задаче у нас есть диагональ осевого сечения цилиндра, равная 4 дм, и угол между этой диагональю и плоскостью основания цилиндра, равный 45 градусам.

Для начала, давайте определим, что имеется в виду под "диагональю осевого сечения цилиндра". Поскольку цилиндр имеет две окружности в основаниях и прямоугольную боковую поверхность, то диагональю осевого сечения цилиндра является отрезок, соединяющий центры оснований и проходящий через центр боковой поверхности.

Для решения задачи проведем небольшую дополнительную геометрическую конструкцию. Допустим, центры оснований и центр боковой поверхности образуют прямоугольный треугольник. Обозначим одну из катетов треугольника как радиус основания цилиндра (r), а гипотенузу как длину диагонали осевого сечения цилиндра (d).

Теперь, используя геометрические свойства прямоугольного треугольника, мы можем применить теорему Пифагора:

\[d^2 = r^2 + h^2\]

где d - длина диагонали осевого сечения цилиндра, r - радиус основания цилиндра и h - высота цилиндра.

Ранее было сказано, что длина диагонали осевого сечения цилиндра равна 4 дм, следовательно,

\[d = 4 \, \text{дм}\]

Теперь подставим это в уравнение Пифагора и найдем высоту цилиндра:

\[4^2 = r^2 + h^2\]

\[16 = r^2 + h^2\]

Мы также знаем, что угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания составляет 45 градусов. Зная это, мы можем установить связь между радиусом основания и высотой с помощью тригонометрических функций.

Поскольку мы знаем катет прямоугольного треугольника (r) и угол (45 градусов) между этим катетом и гипотенузой, мы можем использовать тригонометрическую функцию синус:

\(\sin(45^\circ) = \frac{{r}}{{d}}\)

\(\frac{{r}}{{4}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\)

\(r = \frac{{4}}{{\sqrt{2}}}\)

Теперь, найдя значение радиуса основания, мы можем подставить его обратно в уравнение Пифагора, чтобы найти значение высоты цилиндра:

\[16 = \left( \frac{{4}}{{\sqrt{2}}} \right)^2 + h^2\]

\[16 = \frac{{16}}{{2}} + h^2\]

\[8 = h^2\]

\[h = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

Таким образом, длина высоты цилиндра составляет \(2\sqrt{2}\) дм, а радиус основания - \(\frac{{4}}{{\sqrt{2}}}\) дм.