Каковы длины боковых ребер прямого параллелепипеда с основаниями 5 и 7 см, где угол между ними составляет 30°?

Алина

49

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать тригонометрию и связь между сторонами прямоугольного треугольника. Давайте рассмотрим это пошагово.

Шаг 1: Найдем длину бокового ребра прямоугольного параллелепипеда.
У нас есть основания прямоугольного параллелепипеда длиной 5 см и шириной 7 см. Угол между этими основаниями составляет 30°. Мы знаем, что меньшая диагональ параллелепипеда равна 12 см.

В прямоугольном треугольнике, образованном основаниями параллелепипеда и диагональю, стороны прямоугольного треугольника связаны следующим образом:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
где a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы.

В нашем случае, a = 5 см, b = 7 см и c = 12 см.
Мы можем найти длину бокового ребра, зная а и b.
Мы можем решить данное уравнение, вставив известные значения:
\[5^2 + 7^2 = c^2\]
\[25 + 49 = c^2\]
\[74 = c^2\]

Теперь найдем квадратный корень из обоих сторон уравнения:
\[c = \sqrt{74}\]
\[c \approx 8,60\]

Таким образом, длина бокового ребра прямоугольного параллелепипеда составляет около 8,60 см.

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда может быть найдена, используя формулу:
\[S_{бок} = 2(ab + bc + ac)\]
где a, b и c - длины сторон параллелепипеда.

В нашем случае, a = 5 см, b = 7 см и c = 8,60 см.
Подставим известные значения в формулу:
\[S_{бок} = 2(5 \cdot 7 + 7 \cdot 8,60 + 8,60 \cdot 5)\]
\[S_{бок} = 2(35 + 60,2 + 43)\]
\[S_{бок} = 2(138,2)\]
\[S_{бок} = 276,4 \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда составляет 276,4 квадратных сантиметра.

Шаг 3: Найдем полную поверхность прямоугольного параллелепипеда.
Полная поверхность параллелепипеда можно найти, используя формулу:
\[S_{пол} = 2(ab + bc + ac) + 2(ab)\]
где a, b и c - длины сторон параллелепипеда.

В нашем случае, a = 5 см, b = 7 см и c = 8,60 см.
Подставим известные значения в формулу:
\[S_{пол} = 2(5 \cdot 7 + 7 \cdot 8,60 + 8,60 \cdot 5) + 2(5 \cdot 7)\]
\[S_{пол} = 276,4 + 70\]
\[S_{пол} = 346,4 \text{ см}^2\]

Таким образом, полная поверхность прямоугольного параллелепипеда составляет 346,4 квадратных сантиметра.