Каковы длины диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 5 см и 4 см, а угол между ними составляет 120°?

Парящая_Фея

15

Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма, нам понадобится теорема косинусов. Давайте начнем с рисунка и обозначим стороны и углы параллелограмма.

\[a = 5 \, \text{см} \quad b = 4 \, \text{см} \quad \angle A = 120\degree \quad \angle B = 60\degree\]

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \angle C\]

Где \(c\) - длина диагонали параллелограмма, а \(\angle C\) - угол между сторонами параллелограмма, обратный углу, который нам известен (120\degree).

Для первой диагонали (\(d_1\)), угол C будет равен 120°. Поскольку диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника, где необходимо найти длину диагонали \(d_1\):

\[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \angle C\]

\[d_1^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 120\degree\]

Теперь вычислим \(\cos 120\degree\). Для этого воспользуемся свойством косинуса трехкратного угла:

\[\cos 120\degree = -\frac{1}{2}\]

Подставим это значение обратно в формулу:

\[d_1^2 = 25 + 16 - 20 \cdot (-\frac{1}{2})\]

\[d_1^2 = 25 + 16 + 10\]

\[d_1^2 = 51\]

Теперь найдем квадратный корень из обоих сторон, чтобы найти \(d_1\):

\[d_1 = \sqrt{51} \, \text{см}\]

Для второй диагонали (\(d_2\)), угол C будет равен 60°. Проделаем те же самые шаги, чтобы найти \(d_2\):

\[d_2^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60\degree\]

\[\cos 60\degree = \frac{1}{2}\]

\[d_2^2 = 25 + 16 - 20 \cdot \frac{1}{2}\]

\[d_2^2 = 25 + 16 + 10\]

\[d_2^2 = 51\]

\[d_2 = \sqrt{51} \, \text{см}\]

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны \(\sqrt{51}\) см.