Каково приближенное значение вероятности встретить пару 09 не менее двух раз среди 100 пар в таблице случайных чисел

Sumasshedshiy_Reyndzher

38

Эта задача - классический пример задачи на вероятность. Давайте разберемся с ней пошагово.

Шаг 1: Понять условие задачи
В задаче говорится о таблице случайных чисел, в которой цифры сгруппированы по две. Нам нужно вычислить приближенное значение вероятности встретить пару 09 не менее двух раз среди 100 пар.

Шаг 2: Определить вероятность появления пары 09 в одной паре чисел
Для того чтобы понять вероятность появления пары 09, мы должны знать, какие числа могут появиться в каждой паре. В данном случае у нас есть таблица случайных чисел, где каждая цифра может принимать значения от 0 до 9, поэтому каждая пара может быть любым случайным числом от 00 до 99.

Так как одна пара чисел имеет 100 возможных значений (от 00 до 99), а пара 09 является всего одним из этих значений, то вероятность появления пары 09 в одной паре чисел равна 1/100 или 0.01.

Шаг 3: Вычислить вероятность встретить пару 09 не менее двух раз среди 100 пар
Теперь, чтобы найти вероятность встретить пару 09 не менее двух раз среди 100 пар, мы будем использовать дополнение к вероятности отсутствия пары 09.

Вероятность отсутствия пары 09 в одной паре чисел равна 1 - 0.01 = 0.99.
Очень важно что при нахождении вероятностей комплементарных событий, обратите внимание на то, что эти события настолько комплементарны, что в случае если говорим об отсутствии пары 09, предлагается брать эти числа и лишь ими его заменять. Ведь количество возможных пар чисел остается без изменений. Так что просто заменяем в последующих действиях 0.01 на 0.99

Теперь мы можем использовать биномиальное распределение, чтобы вычислить вероятность встретить пару 09 ровно k раз в 100 парах чисел. Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[
P(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]

где:
P(k) - вероятность получить k успехов (в нашем случае пару 09) в n независимых испытаниях,
\(\binom{n}{k}\) - количество сочетаний из n объектов по k,
p - вероятность появления успеха в одном испытании (вероятность появления пары 09 в одной паре чисел),
n - общее количество испытаний (в нашем случае количество пар чисел).

В нашей задаче количество успехов k равно не менее двух, поэтому нам нужно вычислить вероятность получить 2, 3, ..., 100 успехов (пару 09) среди 100 пар чисел и сложить все эти вероятности.

Так как количество успехов k больше 1, используем следующую формулу:

\[
P(\text{не менее двух}) = 1 - P(0) - P(1)
\]

Где P(0) - вероятность получить 0 успехов (пару 09),
P(1) - вероятность получить 1 успех (пару 09).

Шаг 4: Вычислить вероятность получить 0 успехов (пару 09)
\(\binom{100}{0}\) - количество сочетаний из 100 объектов по 0, равно 1.
Таким образом, вероятность получить 0 успехов равна:
Пусть вероятность появления успеха p равна 0.01, а количество испытаний n равно 100,

\[
P(0) = \binom{100}{0} \cdot 0.99^{100} = 0.366032".
\]

Шаг 5: Вычислить вероятность получить 1 успех (пару 09)
\(\binom{100}{1}\) - количество сочетаний из 100 объектов по 1, равно 100.
Таким образом, вероятность получить 1 успех равна:

\[
P(1) = \binom{100}{1} \cdot 0.01 \cdot 0.99^{99} = 0.369729.
\]

Шаг 6: Вычисляем вероятность встретить пару 09 не менее двух раз среди 100 пар.
Используя найденные значения P(0) и P(1), мы можем вычислить искомую вероятность:

\[
P(\text{не менее двух}) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - 0.366032 - 0.369729 = 0.264239.
\]

Таким образом, приближенное значение вероятности встретить пару 09 не менее двух раз среди 100 пар в таблице случайных чисел равно 0.264239 или округленно до трех знаков после запятой, 0.264.

Я надеюсь, что объяснение решения этой задачи помогло вам лучше понять вероятность и биномиальное распределение. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!