Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, у которого сумма катетов составляет 22 см, чтобы максимизировать

Пугающий_Пират

12

Давайте решим данную задачу. Пусть \(x\) - длина одного катета, а \(y\) - длина другого катета прямоугольного треугольника. У нас есть условие задачи, что сумма катетов составляет 22 см, то есть \(x + y = 22\).

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \(S = \frac{1}{2}xy\).

Для максимизации площади треугольника, нам нужно найти такие значения \(x\) и \(y\), при которых площадь \(S\) будет наибольшей.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся методом подстановки. Разрешим формулу суммы катетов относительно одного из катетов: \(x = 22 - y\).

Теперь, подставим это значение в формулу для площади и упростим выражение:
\[S = \frac{1}{2}(22 - y)y = 11y - \frac{1}{2}y^2 = -\frac{1}{2}y^2 + 11y\]

Мы получили квадратичное уравнение, где переменная \(y\) - длина катета. Поскольку коэффициент перед \(y^2\) отрицательный, график этой функции будет параболой, которая открывается вниз. Значит, вершина параболы будет давать нам наибольшую площадь.

Чтобы найти вершину параболы, воспользуемся формулой \(y = -\frac{b}{2a}\), где в нашем случае \(a = -\frac{1}{2}\) и \(b = 11\).

Подставим эти значения и найдем \(y\):
\[y = -\frac{11}{2(-\frac{1}{2})} = -\frac{11}{(-1)} = 11\]

Таким образом, длина одного катета равна 11 см. Подставим это значение обратно в уравнение для суммы катетов: \(x + 11 = 22\) и решим его:
\[x = 22 - 11 = 11\]

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника, при которых его площадь максимальна, будут равны 11 см и 11 см (в возрастающем порядке).

Чтобы найти максимальную площадь треугольника, подставим найденные значения длин катетов в формулу для площади:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 11 = 121\]

Таким образом, максимальная площадь треугольника будет равна 121 квадратному сантиметру.