Каковы длины сторон прямоугольника, если его площадь составляет 288 см², а периметр равен 72 см? Решение не требуется

Ягненок

70

Хорошо! Давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы все было понятно.

Пусть \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна 288 см², а периметр равен 72 см.

1. Формула для площади прямоугольника: \(S = a \cdot b\). Подставим известные значения: \(288 = a \cdot b\).

2. Формула для периметра прямоугольника: \(P = 2a + 2b\). Подставим известные значения: \(72 = 2a + 2b\).

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
288 &= a \cdot b \\
72 &= 2a + 2b
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему для нахождения значений \(a\) и \(b\).

3. Решение системы уравнений: возьмем второе уравнение и разделим его на 2:

\[
36 = a + b
\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
288 &= a \cdot b \\
36 &= a + b
\end{align*}
\]

4. Модель: Давайте представим, что у нас есть графическая модель прямоугольника. Длины сторон равны \(a\) и \(b\), а его площадь равна 288 см²:

\[
\begin{align*}
\text{Длина} & : a \\
\text{Ширина} & : b
\end{align*}
\]

Теперь мы можем найти значения \(a\) и \(b\), чтобы полностью определить прямоугольник.

5. Находим значения \(a\) и \(b\): С помощью системы уравнений найдем значения \(a\) и \(b\) путем подстановки. Мы знаем, что:

\[
\begin{align*}
a + b &= 36 \quad \text{(из уравнения 2)} \\
b &= 36 - a
\end{align*}
\]

Подставим в первое уравнение:

\[
288 = a \cdot (36 - a)
\]

Раскроем скобки:

\[
288 = 36a - a^2
\]

Получаем квадратное уравнение:

\[
a^2 - 36a + 288 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня. Разложим его на множители:

\[
(a - 24)(a - 12) = 0
\]

Теперь мы имеем два возможных значения для \(a\):

\[
\begin{align*}
a - 24 &= 0 \quad \Rightarrow \quad a = 24 \\
a - 12 &= 0 \quad \Rightarrow \quad a = 12
\end{align*}
\]

Используя значения \(a\), мы можем найти соответствующие значения \(b\):

\[
\begin{align*}
b &= 36 - a \\
b &= 36 - 24 = 12
\end{align*}
\]

или

\[
\begin{align*}
b &= 36 - a \\
b &= 36 - 12 = 24
\end{align*}
\]

Таким образом, у прямоугольника могут быть две пары значений сторон: 12 см и 24 см, или 24 см и 12 см.

Это и есть ответ на задачу. Длины сторон прямоугольника могут быть либо 12 см и 24 см, либо 24 см и 12 см.