Каковы длины сторон треугольника АВС, если они образуют арифметическую прогрессию в написанном порядке, а высота

Виктор

42

Чтобы найти длины сторон треугольника АВС, имеющего арифметическую прогрессию сторон в написанном порядке, а также радиус вписанной окружности, мы должны разбить задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем длину высоты, опущенной на сторону ВС.
По определению, высота, опущенная на сторону треугольника, является перпендикуляром, проведенным из вершины треугольника к основанию. В нашем случае, высота, опущенная на сторону ВС, равна 10.

Шаг 2: Обозначим длины сторон треугольника.
Пусть сторона АВ равна $a$, сторона ВС равна $b$ и сторона СА равна $c$.

Шаг 3: Пользуясь свойством перпендикуляра, найдем площадь треугольника.
Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h$, где $b$ - длина основания (сторона ВС), а $h$ - высота, опущенная на это основание. В нашем случае, $b=10$. Поэтому, площадь треугольника будет равна $S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot h$.

Шаг 4: Найдем площадь треугольника другим способом.
Также, площадь треугольника можно найти по формуле $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр треугольника, $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника. В нашем случае, $p=\frac{a+b+c}{2}$.

Шаг 5: Приравниваем выражения для площади треугольника.
Поскольку площадь треугольника одна и та же, мы можем приравнять два полученных выражения:
$$\frac{1}{2}\cdot 10\cdot h=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot (\frac{a+b+c}{2}-a)\cdot (\frac{a+b+c}{2}-b)\cdot (\frac{a+b+c}{2}-c)}$$

Шаг 6: Решаем полученное уравнение.
Решим данное уравнение относительно неизвестных длин сторон $a$, $b$ и $c$. Полученные значения будут длинами сторон треугольника в арифметической прогрессии.

Шаг 7: Находим радиус вписанной окружности.
Известно, что радиус вписанной окружности треугольника можно найти по формуле $r=\frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - полупериметр треугольника.

После решения полученного уравнения из шага 6, найдите значения длин сторон $a$, $b$ и $c$. Затем, используя найденные значения, подставьте их в формулу для радиуса вписанной окружности и найдите его значение.

Таким образом, мы сможем найти длины сторон треугольника АВС и радиус вписанной окружности.