Найдите координаты точки Р на касательной, проведенной из точки А до окружности радиуса 15 с центром в точке

Букашка

63

Конечно! Давайте решим задачу о нахождении координат точки \(P\) на касательной, проведенной из точки \(A\) до окружности радиусом 15 с центром в точке \(O\).

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства окружностей и касательных.

Пусть \(O\) - центр окружности, и координаты точки \(A\) равны \((x_A, y_A)\). Мы должны найти координаты точки \(P\).

Шаг 1: Найдем уравнение окружности.
Уравнение окружности с центром в точке \((h, k)\) и радиусом \(r\) задается уравнением \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\). В данном случае, уравнение окружности будет \((x-0)^2 + (y-0)^2 = 15^2\), что дает нам уравнение \(x^2 + y^2 = 225\).

Шаг 2: Найдем уравнение касательной.
Касательная к окружности в точке \(A\) будет перпендикулярна радиусу, проведенному из центра окружности \(O\) до точки \(A\).
Так как радиус проходит через центр окружности и точку на окружности, он будет иметь угол наклона \(\theta\), определяемый как \(\tan(\theta) = \dfrac{y_A}{x_A}\).

Так как касательная перпендикулярна радиусу, ее угол наклона будет противоположным и будет равен \(\tan(\theta) = -\dfrac{1}{\tan(\theta)}\) или \(\tan(\theta) = -\dfrac{x_A}{y_A}\).
Таким образом, уравнение касательной принимает форму \(y - y_A = -\dfrac{x_A}{y_A}(x - x_A)\).

Шаг 3: Найдем координаты точки \(P\).
Точка \(P\) является точкой пересечения касательной с окружностью. Подставим уравнение касательной в уравнение окружности и решим получившееся уравнение для нахождения координат точки \(P\).

Подставим \(-\dfrac{x_A}{y_A}(x - x_A) + y_A\) в уравнение окружности \(x^2 + y^2 = 225\):
\((-x_A(x-x_A) + y_A(y-y_A))^2 + (x-x_A)^2 = 225\)

Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду:
\(x^2 + y^2 - 2x_Ax - 2y_Ay + (x_A^2 + y_A^2) = 0\)

Теперь мы можем получить систему двух уравнений и двух неизвестных, которую можно решить для нахождения координат точки \(P\):
\(\begin{cases}
-x_Ax - y_Ay + (x_A^2 + y_A^2) = 0 \\
x^2 + y^2 = 225
\end{cases}\)

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения \(x\) и \(y\) для точки \(P\).

Обратите внимание, что на этом этапе мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или факторизации.

К сожалению, без знания конкретных координат точки \(A\), мы не можем предоставить конкретные значения для точки \(P\). Однако, следуя описанным выше шагам, вы сможете найти координаты точки \(P\) для конкретных значений точки \(A\).

Пожалуйста, используйте представленный материал, чтобы решить задачу самостоятельно, заменив координаты точки \(A\) на известные значения, и у вас будут конкретные координаты точки \(P\) на касательной, проведенной из точки \(A\) до окружности радиусом 15 с центром в точке \(O\).