Яку кількість сторін має правильний многокутник, коло описаного навколо якого має діаметр 12 см, а сторона многокутника

Pelikan

7

Для решения данной задачи, нам необходимо сначала найти количество сторон \(n\) правильного многокутника, описанного вокруг данного окружности.

Длина стороны многокутника равна \(6\sqrt{3}\) см, а диаметр окружности, описанной вокруг многокутника равен 12 см.

Рассмотрим правильный треугольник, в котором сторона многокутника будет являться основанием, а радиус окружности - его высотой.

В таком треугольнике, сторона, противолежащая углу в 60° (все углы правильного треугольника равны 60°), будет равной радиусу окружности.

Используем формулу площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\), где \(S\) - площадь треугольника.

Так как треугольник правильный, его площадь можно выразить через длину стороны и радиус описанной окружности:

\[S = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times r,\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(6\sqrt{3}\) - длина стороны многокутника, \(r\) - радиус описанной окружности.

Также площадь треугольника можно выразить через формулу герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)},\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\), \(c\) - длины его сторон.

В нашем случае, треугольник равносторонний, поэтому его стороны равны и \(a = b = c = 6\sqrt{3}\).

Полупериметр треугольника равен:

\[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} = \frac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}.\]

Подставляем эти значения в формулу для площади треугольника:

\[\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{9\sqrt{3}(9\sqrt{3} - 6\sqrt{3})(9\sqrt{3} - 6\sqrt{3})(9\sqrt{3} - 6\sqrt{3})},\]

\[\sqrt{9\sqrt{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{729\sqrt{3}} = 9\sqrt{\sqrt{3}} = 9\sqrt[4]{3}.\]

Таким образом, мы получили площадь правильного треугольника, которая равна \(9\sqrt[4]{3}\).

Теперь найдем радиус окружности:

\[S = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times r,\]

\[9\sqrt[4]{3} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times r,\]

\[9\sqrt[4]{3} = 3\sqrt{3} \times r,\]

\[r = \frac{9\sqrt[4]{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3} \times \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{3}} = 3 \times \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[3]{3}}.\]

Рационализуем знаменатель:

\[r = 3 \times \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[3]{3}} \times \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}} = 3 \times \frac{\sqrt[3]{3}\sqrt[4]{3}}{\sqrt[3]{3^2}} = 3 \times \frac{\sqrt[12]{3^7}}{\sqrt[3]{3^2}}.\]

Упростим выражение под корнем в знаменателе:

\[r = 3 \times \sqrt[12]{\frac{3^7}{3^2}} = 3 \times \sqrt[12]{3^5} = 3 \times \sqrt[6]{3^2} = 3 \times \sqrt[6]{9}.\]

Таким образом, радиус вписанной окружности в этот правильный многокутник равен \(3 \times \sqrt[6]{9}\) см.